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確率変数の期待値について
確率分布Xは次の分布に従う。
P(X=k)=c/3^k (k=0,1,2,...)
このとき、
(1)定数cの値を求めよ。
(2)期待値E[2^(-X)]を求めよ。
(3)分散V[2^(-X)]を求めよ。
この問題を自分で解いたところ、
(1) (全事象の確率)=1を用いてc=2
(2) 期待値の定義を用いて、E[2^(-X)]=2/5
(3) E[{2^(-X)}^2]を求めてから、分散の性質を用いてV[2^(-X)]=6/275
となったのですが(2),(3)の値が解答の選択肢の中になく、合っているかがわからない状態です。
計算してどのような値になるか教えて欲しいです。
回答
和田 アキ子 さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。有名人が来たのは初めてです！
質問のときは、なるべくあなたがどこまでやったのかとか、どうやって2/5とか6/275がでたのか見せてほしいのです。ほんとうに違うのなら間違いを見つけます。あなたが使った期待値や分散の定義、公式も見たいし。
正解はわからないのですね。それではせめて選択肢を示してくれると助かります。
期待値＝$\sum_{k=0}^{\infty}k\cdot 2\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^k$ を計算したのですね。$\dfrac{3}{2}$ は選択肢にありますか？
私も計算間違いは得意なので数値は心配です。
期待値が間違っていると分散も違ってしまうので、とりあえずここまで。
選択肢、あなたの答案など見せてくださいませんか？写真でアップできますよ。待ってます！
せっかくご回答していただいたところ申し訳ないのですが、自分で解決することができました。結果を以下に書いておきます。 (1)Σ[k=0~∞] c/3^k=1 よりc=2/3 (k=0からではなくk=1から和をとっていたため、誤った値になってしまった) (2)E[(1/2)^X] =Σ[k=0~∞](1/2)^k*(2/3)(1/3)^k=Σ(2/3)*(1/6)^k = 4/5 (3)V[(1/2)^k] = E[(1/4)^k] - {E[(1/2)^k]}^2= 8/11 - 16/25 = 24/275 次回ここで質問するときは、くさぼうぼうさんのアドバイスを思い出して質問したいと思います。 回答ありがとうございます。
すみません、お役に立てなかったようです。またどうぞ。