Σの連続積の計算方法

お久しぶりです。今回もご教授お願いします。 Σの連続積について 導出方法は分かるのですが、Σの右につく分数は計算で求める以外方法はないのでしょうか？()内が三次式で1/3,四次式で1/4…と法則があったりしますか？ 添付画像の緑色の部分です！よろしくお願いします。

ひく　ひく　さん、こんにちは。あれ？久しぶりでしたっけ。1カ月くらい？ 連続積ですか。ことばは知りませんでした。階差数列にするというのも素晴らしいテクニックです！ さて、ご質問のことですが、あなたの推測どおり、2次の連続積の和なら3次式を作って1/3、3次の連続積の和なら4次式を作って1/4、4次の連続積の和なら1/5、ｐ次の連続積の和なら $\dfrac{1}{p+1}$ になりますよ。 がんばって証明してみればよかったですね。 3次の連続積 $k(k+1)(k+2)$ の和の場合は $k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)$ $=k(k+1)(k+2)\{(k+3)-(k-1)\}$ $=k(k+1)(k+2)\times 4$ なので、まえに$\dfrac{1}{4}$ をつければ $k(k+1)(k+2)$ になります。 一般にｐ次式の連続積 $k(k+1)\cdots (k+p-1)$ の和の場合は $k(k+1)\cdots (k+p-1)(k+p)-(k-1)k(k+1)\cdots (k+p-1)$ $=k(k+1)\cdots(k+p-1)\{(k+p)-(k-1)\}$ $=k(k+1)\cdots(k+p-1)\times (p+1)$ なので、まえに$\dfrac{1}{p+1}$ をつければ $k(k+1)\cdots(k+p-1)$ になります。 たしかにそのような法則がありますね！！ 1/2、1/6、1/24の方にも法則がありますね。わかりますか？ これで大丈夫ですか？