命題「(a^a)=(b^(a-1)が成り立つならばbはaの倍数か？」

対数が無理数であることの証明を背理法でしようと思ったときにふと気になったものです。a、bはともに自然数で、かつ互いに素なものです。

Yubi Tume さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。指詰めとはまた嫌な名前を付けましたね。変えてくれると嬉しいですが。 さて、「$a^a=b^{a-1}$…① が成り立つならば bはaの倍数である」という命題が正しいかどうかですね。 正しいと思いますよ。ただし、あるaに対して$a^a=b^{a-1}$ が成り立つような整数ｂが存在するのかどうかはわかりませんよ。 なさそうな気もしますが、あるのでしょうか？ 正しいことの説明です。 aの素因数ｐに着目します。aを素因数分解したら $p^m$ が出てくるとしましょうか。 ①の」左辺で表わされる数には素因数pは $p^{ma}$ となって現れます。 一方、右辺で表わされる数は、ｂに素因数ｐが含まれていなければｐは出てきませんので、①は成り立ちません。よって成り立っているのだとしたら、ｂにも素因数ｐが入っているはずです。 ｂを素因数分解したら $p^n$ が出てくるとすると、右辺には $p^{n(a-1)}$ となって現れます。 で、①が成り立つとすれば（すれば、ですよ！）素因数分解は両辺同じなので、 $ma=n(a-1)$ ですから、$\dfrac{m}{n}=\dfrac{a-1}{a}$ で $\dfrac{a-1}{a}<1$ より$m<n$ 。 ゆえに、aの素因数 $p^m$ はｂの素因数 $p^n$ に含まれ、 $p^n$ は $p^m$ の倍数です。 他の素因数についても同様なことが言えて、aの素因数はすべてｂに含まれており、ｂはaの倍数です！ ただし、aに対して①を本当に成り立たせるようなｂが存在するのかどうかは怪しいです。この後、ちょっと考えて、存在するようならコメント欄で教えてください。 これで大丈夫ですか？会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、こんなa、ｂがあるよとか、コメント欄になにか返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメント、よろしく！ あ！あ！あ！ここまで書いて、「a、ｂは互いに素」とあるのを忘れていたことに気づきました。a、ｂに共通な因数がないのであれば、そもそも①は成り立ちませんよね！左辺と右辺にも共通因数がないのですから等しくなることはできません！そもそも互いに素なら、ｂはaの倍数になんかなれるはずもないでしょう！うえの回答は「互いに素」という条件がないときの話です。失礼しました。