円のチェイン複体はどのように定義されますか？

最近トポロジーの勉強を始めました。 三角形のチェイン複体を考える時には、 0次元では、3つの頂点 1次元では3つの辺 の形式的な和としてチェイン複体が定義されることを学びました。 これらは、円の場合にはふつうどのような形で与えられるのでしょうか？ 一見すると、円周には頂点も境界もないように思えるので、混乱しています。 ところで、関連する別の質問ですが、 三角形のチェイン複体を考えるときに、 C_0 = {xA + yB + zC | (x,y,z) \in G} のGを{0,1}ととる場合とZ^3とする場合とを見かけました。 これらの差はなんでしょうか？直観的には、頂点のとるとらないを表現している{0,1}のほうが素直に思えますが、 Z^3にする意味はなにかあるのでしょうか？