このサイトはお使いのブラウザでは正常に動作しません。Google Chromeなど、別のブラウザを使用してください。
数学的帰納法を使用する証明
回答
すみません。仕事が終わり次第よく読んでコメントさせていただきます。考えていただき、本当にありがとうございます❗️
どうぞ、ごゆっくり。
こんばんは。 くさぼうぼうさんが考えてくださった、証明、よくわかりました。大変、わかりやすい証明をありがとうございます。 中学生が書いた証明を乗せます。 どうでしょうか？ 偶数を整数nを用いて2nと表す。 ここで奇数は2n-1表せる。 この和、2n+(2n-1)をP(n)…①とする。 P(1)＝2×1＋(2×1-1)＝3で奇数となる。 P(2)＝2×2+(2×2-1)＝7で奇数となる。 ここでn＝kとすると、 P(k+1)＝P(k)+2と表せる。 これは、2n+(2n-1)+2＝2n+(2n+1)となり、 m＝n-1/2とおくと 2n+(2n+1)＝(2m-1)+2mとなり、①と一致することから P(1)は奇数、P(2)も奇数、P(k+1)＝P(k)+2…②の3つから P(n)(n＞イコール1)は奇数である。 また、P(k-1)＝P(k)-2は、②の反対であるから P(n)(n＜イコール1)も奇数である。 よって、奇数と偶数の和は、奇数である。
中学生の証明について、これは2n+(2n-1)についての証明にしかなっていませんね。６＋５とか１２＋１１とか、連続した偶数と奇数の和しか扱っていません。これは致命的です。偶数は２ｎ、奇数は２ｍ－１のように、偶数と奇数を独立に（異なる文字を用いて）定めて、ｎについて、ｍについて、数学的帰納法を用いなければね。証明の7行目は＋２ではなく＋４ですね。 いずれにしても、すべての奇数、すべての偶数について示さなければならないので、数学的帰納法でやるならn,mの二つの文字についてやらなければなりません。 でも、やってみた生徒さんはなかなか偉いと思います。うまくほめながら教えてあげてください。 直子さんは教員でしょうか？私は教員OBです。
そうですよね。連続したものの和しか証明していないですよね。そうだろうかなと思いながらも、うーーん。って考えて誰かに聞いてみたいと思い、ここに辿り着きました。聞いてみて良かったです。くさぼうぼうさんの解答を教えてあげようと思います。本当にありがとうございました。私も教員です。
中学では数学的帰納法は扱わないですよね。この生徒さんは数学好きの人なのかな？それとも中高一貫の特別カリキュラムで高校数学の一部も前倒しでやっている学校でしょうか。いずれにしても、挑戦心は大事にしたいですよね。また何かありましたらご利用ください。
なぜ数学的帰納法でという指定なのでしょうか？そのことの証明ならそんなことしないし、数学的帰納法の練習としてはふさわしくない問題ですが。理由が納得できれば考えてみますよ。
そうなんです。そんなことしないのが普通なのですが、中学生が数学的帰納法を使用した証明を書いたのです。もし本当に数学的帰納法を使っての証明ができるのなら、正しい解答を知りたいなと思いました。
おはようございます。そうですか。じゃ、考えた方もないけど考えてみますね。本当はその証明を見せてくれるのが一番いいのですが。正誤の判断をします。それともそれは間違っていたのですか？