漸化式の極限について

Anの極限値は(1)で求められていると思うのですが、なぜ(2).(3)の手順を踏むのでしょうか？ 解答の流れはわかるのですが、なぜこの操作をするのか、解説を読んでもわかりませんでした。

種田 山頭火 さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。最近有名人が来るなぁとおもっていたら、とうとう山頭火さんまで！ さて、それは誤解です。（１）で極限値が求まったわけではありません。 もし極限値を持つとすれば…という仮定のもとに $a_{n+1},a_n$ ともにαに収束するだろうと置いただけの話です。どこに収束する証拠はありますか？って、別に責めているのではないですよ。つぎの漸化式で与えられる数列$a_n$ の極限値は？ $a_{n+1}=2a_n-3,a_1=1$ (1)のように、極限値があるとすれば、α＝２αー３よりα＝３ですが、この数列は実際には収束せず極限値を持ちません。 この問題では（１）で、あるとすれば３だろう、と見当をつけて（見当がついていると式変形の見通しがつく）、（２）（３）で実際にあることを示しています。 これで大丈夫ですか？これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてくださいね。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメント、よろしく。