合成関数の連続性の証明

合成関数の連続性の証明についてわからないことが2つあります。 ①赤線部の「･･ならば|f(x)-f(a)|<δ0が成り立つ｣ の部分がしっくりこないです。なぜδ0というのは任意の数ではなくある数なのに|f(x)-f(a)|<δ0としてよいのですか？ ②どのようにして青線部の｢|g(f(x))-g(f(x0))|<εが成り立つ｣と結論づけられるのでしょうか？ 解説おねがいします 写真:https://d.kuku.lu/r6ubb5s8y

あか 青 さん、こんにちは。 ｇについて、任意のεに対してδ₀が存在する ｆについて、任意のε’に対してδが存在する 任意なんだからε’がδ₀の時を考え、 δ₀のときもδ₀に対してδが存在する よって任意のεに対して、ｇに関してδ₀が存在し、ｆに関してそのδ₀に対してδが存在する つまり任意のεに対してg,fに対してあるδが存在する すなわちg(f(x))は連続である これでどうでしょうか。