和積の計算

この問題の計算（特に赤かっこの2行）が何をしているのかわからないので教えて欲しいです

Shiki さん、おはようございます。お久しぶりです。 大学生になられたのですね。おめでとうございます！ さて、質問の箇所は、初めの２行で和積の公式の適用が終わって、なんとか問題の答が見つかるように変形を工夫しているところみたいです。問題がわからないので見当はずれだったらごめんなさい。 最後の $\cos\frac{\pi}{6}$ は$=\frac{\sqrt{3}}{2}$ として数値化し、 コサインをサインにしたいらしく（ここは問題文が示されていないのではっきりしませんが）、 $\sin(\theta+\frac{\pi}{2})=\cos \theta$ ということを逆方向に使って $\cos \theta=\sin(\theta+\frac{\pi}{2})$ 、$\theta=x+\frac{\pi}{6}$ ということで変形してサイン関数にしています。 これで大丈夫ですか？いつものようにコメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。