二項方程式

こんにちは、この問題の解答で、青ラインを引いているところで、ルートをかけて、複素数の式は、iを外して二乗しているのは、大きさとして考えるから　でしょうか。 よくわかっていないです。、

eriさん、そうです、大きさ＝絶対値を扱っているところです。 絶対値に関して大事なのは、$z=a+bi$ を極形式で表わしたとき $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ となるとき、 $|z|=r=\sqrt{a^2+b^2}$ …①あるいは $|z|^2=z\overline{z}$ …②ですね。 まず①を使って|z⁴|を求めていますね。 $z^4=8(-1+\sqrt{3}i)=-8+8\sqrt{3}i$ なので $|z^4|=\sqrt{(-8)^2+(8\sqrt{3})^2}$ ですが、これをうまく８でくくったりしています。 $=\sqrt{8^2((-1)^2+(\sqrt{3})^2})$ ま、ここはどうやっても計算はできますので。 これで$|z^4|=16$ が求まりました。 ところで、$|z^4|=|r^4(\cos 4\theta+i\sin 4\theta)|=r^4=|z|^4$ なので、$|z^4|=16=|z|^4$ なので、$|z|=2$ がわかりました。 これで大丈夫ですか？ しかし…別解 $z^4=8(-1+\sqrt{3}i)=16(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})=2^4(\cos 4\theta+i\sin 4\theta)$ より、 $\cos 4\theta=-\frac{1}{2},\sin 4\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ が分かるので、 この時点で$4\theta=120,480,840,1200$ が分かってしまいますよ。 これも大丈夫ですか？ $|z^n|=|z|^n=r^n$ は大事です。