数列

画像の問題の二番以降が本当にわかりません。解説お願いします。

zh akatさん、こんばんは。数列、がんばっているのですね！ （１）$a_2=8,a_3=10$ ですね。 （２）結果を見ると2項間の関係になっていますので、$a_{n+1}$ と $a_n$ を比較します。もともとの数列がシグマで定義されていますので、引き算すればかなりの部分が消えることが想像できます。そんな考えはどこから出てくるのだ？と言われても困るのですが、ある程度経験を積めば身についてきますので焦らずに。 $a_{n+1}-a_n=$（n+1の方のシグマ計算の最後だけが残ります）$=\dfrac{a_n}{n+2}$ これより $a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n}{n+2}=\dfrac{n+3}{n+2}a_n$…① （３）ここも慣れていないと変形を思いつかないかもしれません。n+3とn+2が1つ違いであることと、n+1とｎも1つ違いだから、多いほうと少ないほうをまとめることを試みます。 上の①の両辺をn+3で割るのです！ $\dfrac{a_{n+1}}{n+3}=\dfrac{a_n}{n+2}$ これを $\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)+2}=\dfrac{a_n}{n+2}$ とみれば、 さらに番号を下げていけます。 $=\dfrac{a_{n-1}}{(n-1)+2}=\dfrac{a_{n-2}}{(n-2)+2}=\cdots =\dfrac{a_2}{2+2}=\dfrac{8}{4}=2$ よって一般項は $\dfrac{a_n}{n+2}=2$ より $a_n=2(n+2)$ ただし、ｎ≧２です。 これで$a_n$ を書いてみると順に 24,8,10,12,…となり、初項だけは変なものですがあとは公差２の等差数列です。 ２４を１８＋６にしてやれば和は１８＋（初項６公差２の等差数列）ですので $S_n=18+\sum_{k=1}^n (2k+4)=\cdots =n^2+5n+18$ になります。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、前のように、分かったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄になにか返事を書いてください。よろしく。