数A 反復試行 サイコロの最大最小

(2)サイコロをn回(n≧2)投げるとき、出る目の最大値が5以下である確率を求めよ という問題なのですが、「6は出ず、5の目が少なくとも1回は出る場合」と「1〜5の目から出る〜除いた場合」がイコールになることにいまいちピンときません(画像参照)。 別の解説サイトでベン図を使って解説しているものがありましたが、それもよく分かりませんでした。 また、(5/6)^n-(2/3)^nは(1/6)^nにできそうなのに、なぜ計算せずそのままなのですか。n乗だからですか。

がじゅまる さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 この質問はよく来ます。なかなか難しいということでしょうね。 （質問文の1行目は「５以下」ではなく５ですね） ｎ回投げたときの目の出方を最大値について分類すると (a)最大値が１ (b)最大値が２ (c)最大値が３ (d)最大値が４ (e)最大値が５ (f)最大値が６ に別れ、これですべてを網羅しています。 いま求めようとしているのは(e)ですが、これは (e')６は出ず、５は少なくとも１回出る と言い換えられるのはいいのですね。 しかし、実は(e')は(e'-1)５が1回…(e'-n）５がｎ回、という風にｎ個の場合が含まれています。 確率を求める時はこのｎ個を求めて足さなければなりません。 一般に「少なくとも」という条件が入った確率は、いくつかの場合の集まりになっていて、それぞれの確率を出すという大変な操作が伴います。 （他の問題で、「少なくとも」が入っていたら余事象を考えて引く、ということを学習しませんでしたか？「少なくとも女子が１人入る」みたいなやつです。これは女子が１人の場合、女子が２人の場合などとやらずに、すべての場合から男子だけの場合を引きますよね) そこで、(e)を求めるために(e')を考えるのではなく、 「(i)最大値が5以下」という事象には(a)(b)(c)(d)(e)が含まれるが、(e)は(i)から(a)(b)(c)(d)を除いたものだ。しかも(a)から(d)までは「(ii)最大値が4以下」とまとめることができます。そして重大なことは「最大値が〇以下」である確率は比較的簡単に求められるのです！ (i)は「出た目がすべて5以下」、(ii)は「出た目がすべて4以下」と書き換えられるので、 (i)の確率は $\Big(\dfrac{5}{6}\Big)^n$ (ii)の確率は $\Big(\dfrac{4}{6}\Big)^n=\Big(\dfrac{2}{3}\Big)^n$ なので、求める確率は$\Big(\dfrac{5}{6}\Big)^n-\Big(\dfrac{2}{3}\Big)^n$ となります。 最後の質問で。これを$\Big(\dfrac{1}{6}\Big)^n$にできないかとありましたが、それはできませんよ。累乗があるからですね。 たとえば３²－２²＝（３－２）²＝１²＝１とはならないでしょう！ これで大丈夫ですか？これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。会話型を目指しています。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメント、よろしく！