確率の問題なのか数列の問題なのか。誘導してあるようなのですが、誘導に乗れません。

白玉ｎ個と赤玉ｒ個が袋に入っている。ただし、n≧０，ｒ≧１とする。この袋から無作為にｒ個の玉を同時に取り出すとき、赤玉がｒ個出る確率をP(n,r)とする。 ⑴、P(n,r)を求めよ。n!r!/(n+r)! ⑵、Σ(n=0→∞)P(n,2) を求めよ。２ ⑶、等式P(n,3)=aP(n,2)+bP(n+1,2)がすべてのnで成り立つように定数a,bの値を定めよ。　a=3/2 b=-3/2 ⑷、Σ(n=0→∞)P(n,３) を求めよ。3/2 ここまでは求められたのですが、 ⑸、r≧４のときΣ(n→∞)P(n,r) をrを用いて表せ。が分かりませんでした。答えは　r/(r-1) です。よろしくお願いいたします。 使い方がよく分かりませんが、これでファイルが添付されるのかな？

高木 繁美 さん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく。 そうですか、誘導に乗れませんでしたか！ どんな誘導かというと「部分分数展開の特殊な形に分解」です。これをまず(3)で示し、次に（４）でもやっているはずです。 （３)(４）では $\dfrac{6}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\dfrac{3}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{3}{(n+2)(n+3)}$ という分解をしましたね？ （あなたのノートがアップされていないので確認できません。次回の質問からはなるべくあなたのやったところまでのノートをアップしてくださいね） （５）では $\dfrac{r!}{(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1)(n+r)}$ を２つの分数に分解します。それは(3)(4)をまねて（ここに気づくかどうかが勝負！） $\dfrac{r!}{(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1)(n+r)}=\dfrac{s}{(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1)}+\dfrac{t}{(n+2)(n+3)\cdots (n+r)}$ と置いてこの等式が任意のｎで成り立つようなｓ、ｔを求めます。この誘導が（２）でしょうか。 $s=\dfrac{r!}{r-1},t=-\dfrac{r!}{r-1}$ になります。がんばって求めてください。 これで、あとは(2)(4)をまねれば、一番初めの項だけ残ってあとは全部消えてしまう！という気持ちの良い状態になり、結果をきれいにすればその答が出てきます。 細かく全部は書きません。ご自分でやってみてください。 これで大丈夫ですか？これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、ここがうまく求まらないとか、コメント欄に何か返事を書いてください。会話型を目指しています。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメント、よろしく。 ============================= コメント拝見。 追加の質問にお答えします。 「最初の項　 r!/(r-1)×n!r!/(n+r)! 」がおかしいような。 まず　$P(n,r)=\dfrac{n!r!}{(n+r)!}$ を約分して $P(n,r)=\dfrac{r!}{(n+1)(n+2)\cdots (n+r)}$ としてから 部分分数に分解しませんでした？ このとき、初めの分数は $\dfrac{r!}{r-1}\cdot\dfrac{1}{(n+1)(n+2)\cdots (n+r-1)}$　 になるはずなのですが。 これにn=0を代入して $\dfrac{r!}{r-1}\cdot \dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdots \cdot (r-1)}$ $=\dfrac{r}{r-1}$ という風になるはずなのですが。 もう一度、途中を点検してください。間違いが見つからなければ、ぜひノートの写真をアップしてください。まず、今使っているPCかスマホで 質問のところの下の方に「ファイルを選択」というボタンがあるので、それをクリックして、いま撮った写真ファイルを選択して更新してください。うまくいかなければまた言ってください。