積分

半径√eの円柱から余分な所を引く発想でといたのですが、うまくいきません。 答えから、①がπがらみの数になるはずなのに自分の解答だと全くπが絡みません。 どこで間違えているのでしょうか。

茂木 音弥 さん、こんにちは。 あなたのノートにある「余分なところ」の体積は、②式では求まりませんね。 回転体の体積にはなってないです。 余分な部分の体積をｙ方向の積分で求めるのなら、薄い円盤の体積の総和で、 $\int_0^{\frac{1}{2e}} \pi x^2 dy$ となり、ｙで積分なので元の関数をｘ＝g(y)に直さなければなりませんが、それは難しいですね。 一般にy=f(x)をｙ軸周りに回転させた体積は $\int_a^b \pi x^2 dy=\int_a^b \pi (f^{-1}(y))^2 dy$ で、逆関数が簡単に求められないと大変です。 模範解答はいわゆる「バームクーヘン積分」というやつで、これは円柱の側面をⅹ方向に積分しますから、 半径ｘ、高さｙの円柱の側面積にdxをかけて薄いバームクーヘンの皮の体積を出して合計（積分）しています。 $\int_1^{\sqrt{e}} 2\pi x\cdot y dx$ これが楽そうですね。 これで大丈夫ですか？