長さが虚数となったしまいました

甘えているようで気がひけますが、この問題は「後期」のもので赤本などがありません。大学のHPからダウンロードしたのですが、解答のみで解説がありません。 添付ファイルしたつもりですが（下の「ファイルを選択」の下に「奇跡の最小値.jpg」とあります）この⑷です。計算したら長さが虚数になってしまいました。方針だけでもご教授願えませんでしょうか。 指摘されてみると、自分の杜撰さに気づき悲しくなります。計算してみたら解答と合わない・・・。たぶん、共役複素数の積でやるべきなのでしょうが勉強不足でどうしたら良いか分からず力任せに計算しようとしたからマズイのかも。 ST^2を計算してみたら（計算ミスがなければ）添付ファイルのようになりました。これは、3√5≦|z|≦5√5 という範囲があるし、|z|の二次式が出てきたので二次関数の最大・最小の問題に帰着するのかと考えました。|z|=45-90i という結論の意味が分かりません。 絶対値に虚数 i が含まれる意味が分からない。計算ミスなのか、根本的に勘違いしているのか、行き詰りました。⑷の解答は50(√5-1)です。

まずはじめに、前の質問の回答でSをQと書いていました。訂正しましたので読み直してください。 あなたの答案の下から4行目、気持ちは分かりますが、その式はあくまでも「TからSに向かうベクトルを表す複素数（変な言い方ですがわかります？）」を表しているのでST=ではありません。ST=（4行目で表わされる複素数の絶対値）ですよね。 それから、Sが表す複素数は $\dfrac{75}{|z|}\cdot \dfrac{z}{|z|}$ です。さっきまでこれを間違えたままで気が付きませんでした。 Sを表す複素数は絶対値が$\dfrac{75}{|z|}$ で、方向がｚと同じなので、ｚの方向に長さが１の複素数をかけなければいけませんでした。（さっきまではただｚをかけていました（恥）） この後は、画像を見てください。 ＊実部を2乗するカッコの中の分子が|z|²になってますが、|z|の間違いです。重ね重ねお詫び！！ 最後の方で相加相乗平均のかんけいを使います。 等号成立条件が|z|の範囲に入っているかの見極めが面倒ですが、５の4乗根は2.23の平方根ですので、1.4より大きいだろう、1.5より小さいことは分かりますので、範囲内にあることは確認できます。 とんだところで間違えたまま時間をつぶさせてしまい、申し訳なかったです。 これで大丈夫ですか？分かったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。