条件付き確率、数列の一般化について

ファイルの問題の（１）（２）は数字を代入して書きだせば正解できました。しかし、３番になって「an の取り得る値すべて」と一般化されると（１）（２）の結果から正解である「-2,-1/2,1/3,2/3,3/2,3」であることは循環的に直観で分かりますが、それでは数学ではないですよね。（４）は、その結果を使ったと思われる条件付き確率なので行き詰りました。 どう考えたらよいのでしょうか。ご教示願えないでしょうか。（４）の正解は「nが偶数のとき０，奇数のとき(n-1)/2nです。

(3) は取り得る値を予想できるのであれば数学的帰納法によって証明ができます。$a_n$ が取り得る値からなる集合を $S_n$ とします。また、直感で予想した取り得る値からなる集合を $A=\left\{-2, \ -\dfrac{1}{2}, \ \dfrac{1}{3}, \ \dfrac{2}{3}, \ \dfrac{3}{2}, \ 3 \right\}$ とします。すると、「$\textrm{(i) } S_3=A$」および「$\textrm{(ii) }S_k = A$ ならば $S_{k+1} = A$」を示せば、数学的帰納法によって「任意の $3$ 以上の自然数 $n$ に対して $S_n = A$」が言えます。$\textrm{(i)}$ は地道に計算すれば示せます。$\textrm{(ii)}$ は $A$ の各要素に $f$ あるいは $g$ を適用してできる数からなる集合が、また $A$ になることを確認すればよいです。 (4) は状況を図で表すと考察しやすいと思います。取り得る値を書き出し、$f(a)=b$ を満たす値の組 $(a,b)$ に対し、$a$ から $b$ に矢印を引き、矢印に $f$ と書き込みます。すると添付画像のような図ができます。図は一度描いてみてください。この図において、$\dfrac{1}{3}$ から $-2$ への道のうち $f$ を $1$ 回のみ通る道を考えます。すると、$\displaystyle -\dfrac{1}{2} \xrightarrow{f} \dfrac{2}{3}$ を通る必要があることが分かります。また、$f$ を通る前には $g$ を奇数回通り、$f$ を通った後も $g$ を奇数回通らなければならないことも分かります。これらの情報から、$-2$ で終了するためには、コインを投げる回数が奇数回である必要があることが分かります。また、コインを奇数 $n$ 回投げたとき、$f$ が偶数回目に現れる確率を求めることによって答えを導くことができます。 $\textbf{\textsf{（追記: 2024年7月9日12:50）}}$ $n$ 回のうち表が $1$ 回のみの事象を $X$、$a_n=-2$ となる事象を $Y$ とすると、条件付き確率の定義より求めるべきものは $\dfrac{P(X \cap Y)}{P(X)}$ です。$n$ が奇数のときを考えます。 事象 $X$ が起こるコインの結果の通り数は $i \ (1 \leqq i \leqq n)$ 回目に表が出て、それ以外が裏となる $n$ 通りです。それぞれ起こる確率が $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ であることから $P(X)=n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ が分かります。 事象 $X$ と事象 $Y$ が同時に起こるコインの結果の通り数を考えます。表が偶数回目に出ないと $-2$ に辿り着けないことから通り数は $i \ (i = 2, \ 4, \ 6, \ \cdots, \ n-1)$ 回目に表が出て、それ以外が裏となる $\dfrac{n-1}{2}$ 通りです。それぞれ起こる確率が $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ であることから $P(X \cap Y)=\dfrac{n-1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ が分かります。