整数？問題

a,bを互いに素な正の整数とし、 X＝｛ax＋by | x,y∈Z、x≧0、y≧0｝とする。また、 N＝(a-1)(b-1)とおく。 (1)正の整数cがc≧Nを満たすならば、c∈Xであることを示せ。 (2)N-1 ∉Xを示せ。 (1)について 任意のc∈Zに対してax1＋by1＝cとなるx1,y1∈Zが存在するので、もしc≧Nならx,yが0以上として取れる、ってことを言えばいいと考えました。どうやってx1やy1が0以上であることを言えばいいのかが分かりません。 (2)について 仮にN-1∈Xのときはx,yどちらかが負になってしまうということを言えればいいと考えました。 例えば a＝3、b＝5、N＝8としたとき、 8＝3・1＋5・1←表せる 9＝3・3＋5・0←表せる 7＝3・4＋5・(-1)←正だけでは表せない N-1＝ab-a-b＋1-1＝ab-a-bなので、これをどうにかすればいいんでしょうか？ よろしくお願いします。

$(x,\ y)$ を $Ax+By=k$ の非負とは限らない整数解とします。すると $A(x+B)+B(y-A)=Ax+AB+By-AB=Ax+By=k$ より $(x+B,\ y-A)$ も $Ax+By=k$ の整数解です。同様に $(x-B,\ y+A)$ も $Ax+By=k$ の整数解です。 よって $Ax+By=k$ の非負とは限らない整数解 $(x,\ y)$ から始めて、$x < 0$ であれば $x < 0$ を満たす間ずっと、$x$ に $B$ を加えて $y$ から $A$ を引くことを繰り返せば、いずれ $0 \leqq x \leqq B-1$ を満たす整数解が見つかります。また $x > B-1$ であれば $x > B-1$ を満たす間ずっと、$x$ から $B$ を引いて $y$ に $A$ を加えることを繰り返せば、いずれ $0 \leqq x \leqq B-1$ を満たす整数解が見つかります。 $\textbf{\textsf{（追記: 2024年7月11日6:58）}}$ この質問へのコメントに対する返答です。 ①: その理解で正しいです。「$(x,\ y)$ が整数解ならば $(x+B,\ y-A)$ も整数解」を定理 $P$ とします。定理 $P$ の $(x,\ y)$ に $(x+B,\ y-A)$ を代入すると「$(x+B,y-A)$ が整数解ならば $((x+B)+B,(y-A)-A)$ も整数解」つまり「$(x+B,y-A)$ が整数解ならば $(x+2B,y-2A)$ も整数解」が得られます。さらに定理 $P$ の $(x,\ y)$ に $(x+2B,y-2A)$ を代入すると「$(x+2B,y-2A)$ が整数解ならば $(x+3B,y-3A)$ も整数解」が得られます。このようにして「$(x,\ y)$ が整数解ならば $(x+B,\ y-A),\ (x+2B,\ y-2A),\ (x+3B,\ y-3A), \cdots$ も整数解」が分かります。あとは、$0 \leqq x+kB \leqq B-1$ となるよう整数 $k$ を選べば $(x+kB,y-kA)$ が目的の整数解 $(x_0,\ y_0)$ です。 ②: $x_0 \geqq B-1$ とはなっていません。正負に注意して $x_0 \leqq B-1$ より $-Ax_0 \geqq -A(B-1)$ であるから、 $$ \begin{align*} & \dfrac{1}{B} (k - Ax_0) \\ = & \dfrac{1}{B} \left\{ k + (-Ax_0) \right\} \\ \geqq & \dfrac{1}{B} \left\{ k + (-A(B-1)) \right\} \end{align*} ​$$ です。