曲線の長さ

（１）から（３）までは正解でしたが、（４）の曲線の長さが解けません。何度計算しても正解と一致しません（正解は一番下に書いておきました）。そもそもが複雑な計算なので（１）から（３）が誘導になっているのかもしれませんが、単独で計算するのか分かりません。曲線の長さの問題を見ることが少なく経験が不足しているので、根本的に勘違いしているかもしれません。単なる計算ミスなのか、立式自体が間違いなのか、教えていただけたら幸いです。 実は、数学Ⅲを独学中で置換積分が十分分かっていないかもしれません。それで、⑶を使うと便利というのをやめ練習のつもりで試みたらファイルのようになってしまい対数が出てきません。 初歩的な勘違いをしているのだと思いますが、何を勘違いしているのか分からない状態です。

高木 繁美 さん、こんにちは。 その「何度計算しても正解と一致しない」ところを見せてほしかったです。間違いをみつけますので。次回からはなるべくあなたの途中経過を見せてくださいね。いま見せてもらっている答案は、そこまでは問題ないですね。あとは定積分の計算です。 L=と始めるなら、右辺の最後に+3/2がつきますよ。 後ろの方の関数の積分はいいですね。単にルートの中が1次式の関数ですから、中味＝ｔという置換積分をすればいいです。結果は61/54になると思います。 問題は前半の積分です。これはもう(3)が誘導になっています。その積分しようとしている関数で、４ｘ＝ｔという置換をすれば $\sqrt{t^2+1}$ となって（３）の結果が使えます。（３）では与えられた変な式を微分したら $2\sqrt{x^2+1}$ になったのですから、逆に $\sqrt{x^2+1}$ を積分すれば、その変な式の半分になるということです。 これで大丈夫ですか？あとは置換積分をきちんとやるだけです。どうしても正解が出ないようなら、あなたのノートの写真をアップしてください。間違いを探しますので。 分かったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　2024/07/11　11:50 新しい写真を拝見しました。 そうですね、置換積分がまだあいまいなのかもしれませんね。写真の左半分の下から2行目、ｔで積分する段階になったら積分範囲は０から１ではありません。ｔの範囲は１から25/16で積分しますよ。32/27は間違いです。61/54になるはずですが。がんばって計算してください。 もう一つの積分の方もｔで積分するときの範囲が違います。ｔは０から４です。また、その不定積分もおかしいです。どうやら合成関数の微分と混同しているのかも。$\sqrt{x^2+1}$ を含む関数の積分は至難です。尋常のやり方では求められません。だからこそ誘導の（３）」が大サービスとしてついているのです。 なお、コメント欄では写真のアップはできないみたいですね。質問の方で編集して追加のアップということになりますので、それが正解でした。 わかったとか、疑問が残るとか、コメント欄に返事を書いてください。