微分

解答では合成をすることにより正負分けを可能としているのですが、自分のように二回微分を求めると正負が判定できなくなってしまいます。最初この解き方でいって画像のように詰まってしまった時、この状況をどのように打破すればよいでしょうか。

茂木 音弥 さん、こんにちは。 三角関数の合成をしないで答にたどり着きたいのですね。 ｙの第2次導関数＝０を調べればいいのですから、g(x)=0という三角方程式を解きます。微分してg'(x)を求めてもg(x)=0となるｘを求めるためには役に立たないと思いますが。 もともとは $g(x)=\sin x+\cos x-(\cos x-\sin x)^2$ です。 これを展開してから、無理やり $\sin x+\cos x$ の2次式に変形するのです。 $g(x)=\sin x+\cos x-\cos^2x+2\sin x\cos x -\sin^2x$ $=(\sin x+\cos x)+(\sin x+\cos x)^2-2$ $=(\sin x+\cos x)^2+(\sin x+\cos x)-2$ $\sin x+\cos x=t$ と置けば $g(x)=t^2+t-2=0$ という2次方程式になります。ただし $-\sqrt{2}\leqq t\Big(=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\Big)\leqq \sqrt{2}$ という範囲に注意して解きます。ここではどうしても合成を考えざるをえませんが。 そうすればg(x)=0となるｘは、０とπ/2だと求まりますよ。 g(x)を微分したのが敗因でしたね。 しかし、$\sin x+\cos x$ を見たら、まずは合成してみよう、と考えてくださいね。 これで大丈夫ですか？