∫[-b,b]dx{ab/(x^2+b^2)}=aπ/2を示せますか？

∫[-b,b]dx{ab/(x^2+b^2)}=aπ/2を示せますか？大学でこれを証明しろとか言われましたが、まったくわかりません。多分関係ないですが、V(x,y,z)=(ay/(x^2+y^2),-ax/(x^2+y^2),0) , p;→(b,b,0), b>0とし、∫[p, ] dl*Vを求める。このような前置きがあります。証明することは多分ただの積分だと思います。

まず、変数 $t$ を用いて $x=bt$ と置換します。適切に式変形すると、 元あった $b$ は、置換時に $b$ が発生したことにより約分され、 $$\int_{-1}^{1}\dfrac{a}{t^2+1}dt$$ となります。$a$ は $t$ によらない定数であるので積分の外に出すことができ、 さらに被積分関数は $t$ について偶関数であるので、積分区間を $[0,1]$ にすることができ、被積分関数を2倍すればよいので、 $$2a\int_{0}^{1}\dfrac{1}{t^2+1}dt$$ となります。これはまさしく三角関数 ${\rm tan}(t)$ の逆関数 ${\rm arctan}(t)$ を被積分関数の原始関数とする積分ですので、 $$2a\left[{\rm arctan}(t)\right]_{t=0}^{t=1} = 2a\left(\dfrac{\pi}{4}-0\right)=\dfrac{a\pi}{2}$$ となります。