軌跡

ファイルの問題なのですが、⑴から⑶までは出来たのですが⑷で行き詰りました。軌跡Cの式がでていないので接線の傾きと言われても微分も出来ないし。⑵で点Pの座標を出したのですが、xy座標の形をしていないし。誘導になっているのかもしれませんが、見抜けません。何か、糸口のご教示を願えないでしょうか。 教えてもらったヒントをもとに計算を進めたら、きれいに因数分解できたので正解を予感しながら行きついた答えはありえない結果になってしまいました。方針に間違いがありますか？明日計算をやり直してみますが、単なる計算ミスなのか、方針がミスっているのか判断がつきません。 やっと正解がでました。私は sinθ, cosθ を求めてから tanθ を求めるとばかり考えて tanθ を直接求めることに考えがいたっておりませんでした。また、cosθ と tanθ の関係式も思い至りませんでした。未熟ですね。精進します。今回はありがとうございました

「$\dfrac{y}{x}$ の値を求めよ」という問題文を見たときに思うことは、なぜ「$x$ および $y$ の値を求めよ」としなかったかという点です。この違和感から、$x$ や $y$ を求めることは大変であるが、うまく計算すれば直接 $\dfrac{y}{x}$ を求めることができるのではないかという予想を立てることができます。実際、$\textrm{(2)}$ の結果を使うと、 $$\dfrac{y}{x} = \dfrac{\sin 2\theta\sin \theta}{\sin 2\theta\cos \theta}=\tan \theta$$ より $\tan \theta$ さえ求めればよいことに気付きます。微分に関しては、$\dfrac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表すことはできなくても、$\theta$ の式で表すことはできます。合成関数の微分法と逆関数の微分法を使います。https://examist.jp/mathematics/derivation/baikaihensuu-bibunhou/ に解説があります。これによって、曲線 $C$ の傾きが $1$ であることを、 $$\textrm{(a) } \dfrac{\quad \dfrac{dy}{d\theta} \quad}{\quad \dfrac{dx}{d\theta} \quad}=1$$ と言い換えることができます。以上から、問題 $\textrm{(4)}$ を「式 $\textrm{(a)}$ が成り立つとき $\tan \theta$ を求めよ」と言い換えることができます。一度、これらのヒントで再考察してはどうでしょうか。 $\textbf{\textsf{（追記: 2024年7月15日7:37）}}$ 2枚目の画像の計算を見ました。因数分解して得られる $\textrm{(b) }(\sin \theta + \cos \theta)(3 \sin \theta \cos \theta - 1)=0$ から $\tan \theta$ を求めるという方針に問題はありません。ただし $\textrm{(b)}$ を、 $$ \left\{\begin{align*} & \sin \theta + \cos \theta = 0 \\ & 3 \sin \theta \cos \theta - 1 = 0 \end{align*}\right. $$ と変形するのは誤りです。$\textrm{(b)}$ から分かることは $\sin \theta + \cos \theta$ と $3 \sin \theta \cos \theta - 1$ の少なくとも一方は $0$ であるということです。「少なくとも一方は」であって「どちらも」でないことに注意してください。$0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ という条件から $\sin \theta + \cos \theta = 0$ の可能性を排除できるため $3 \sin \theta \cos \theta - 1 = 0$ が確定します。ここから $\sin \theta \cos \theta$ の値が分かるため $\tan \theta$ の値も分かります。やや技巧的ではありますが $\dfrac{\sin \theta \cos \theta}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}$ の分母・分子を $\cos^2 \theta$ で割ることで $\tan \theta$ の式にすることができます。

高木 繁美 さん、こんにちは。回答が遅くなってゴメンナサイ。 （３）までのあなたの答を信じて（！）（４）をやります。 たしかに図形Cは式がないように見えますが、そんなことはなく、（２）の答でパラメータ表示として出ていますよ！ $C:x=2\sin\theta\cos^2\theta,y=2\sin^2\theta\cos\theta$ あなたは２倍角で答えていますが、この後のために２倍角はやめておきますよ。 このとき $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}}$ なので、計算は進められますね。 この結果、 $\dfrac{dy}{dx}$　はθで表わされ、それが１だというのです。 次が要点で、$\dfrac{y}{x}$ というのは $\tan\theta$ のことです！！ よって $\dfrac{dy}{dx}=1$ という式から $\tan\theta$ の値を求めればいいことになります。 これ以上書いてしまうと、繁美 さんの楽しみを奪ってしまうので、ここまででやめておきます。 これで大丈夫ですか？できたとか、うまくいかないから説明してくれとか、コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。 =================== 投稿してから見直したら、すでに１６時に綾野さんの回答が来ていたのですね。書いている時は気が付かなかったもので、お二人には失礼しました。中味は同じようなことなので申し訳なかったです。