漸化式

こんばんは 演出問題128の（2）で、答えを見れば意味は分かるのですが、考え方が分かりません。与式のような形でa(n)を求めたい時はこのようにすると決まっているんですか？ ご回答よろしくお願いします。

どぶん 。さん、こんばんは。 決まっているわけではないですが、見抜くと楽なことになります。 あなたが鉛筆で書いた式 $na_n=(n-1)a_{n-1}$ が重要な式です。 これって、左辺の番号を一つ下げても値は変わらないという意味であることを読み取ります。そこが要点！ $b_n$ を持ち出さなくても 「これより $na_n=(n-1)a_{n-1}=(n-2)a_{n-2}=\cdots =2a_2=1a_1=1$ と書いても大丈夫です。特に置き換えなくてはダメというものではないです。 よくある例では $(n+1)a_n=na_{n-1}$ なら $(n+1)a_n=na_{n-1}=(n-1)a_{n-2}=\cdots =3a_2=2a_1$ とか、（$(n+1)a_n=b_n$ と置き換えてもいい）、 $(n-1)a_n=na_{n-1}$ なら両辺を $n(n-1)$ で割って $\dfrac{a_n}{n}=\dfrac{a_{n-1}}{n-1}$ だから $\dfrac{a_n}{n}=\dfrac{a_{n-1}}{n-1}=\cdots \dfrac{a_2}{2}=\dfrac{a_1}{1}$ とか（$\dfrac{a_n}{n}=b_n$ とおきかえてもいい） などがあります。 さらに $(n+2)(n+1)a_n=(n+1)na_{n-1}$ なんかも。 $(n+2)(n+1)a_n=b_n$ とおいてやるような問題もあります。 置き換えなくてもいいですが、１つずつ番号を下げていくと最後に $=3\cdot2a_1$ になりますよ。 やったことないですか？ その手を使わないとすると、普通のやり方では難しいですね。 似たような手ですが、 $a_n=\dfrac{n-1}{n}a_{n-1}$ $=\dfrac{n-1}{n}\dfrac{n-2}{n-1}a_{n-2}$ $=\dfrac{n-1}{n}\dfrac{n-2}{n-1}\dfrac{n-3}{n-2}a_{n-2}$ $=\dfrac{n-1}{n}\dfrac{n-2}{n-1}\dfrac{n-3}{n-2}\cdots \dfrac{2-1}{2}a_{2-1}$ $=\dfrac{1}{n}\cdot 1=\dfrac{1}{n}$ これで大丈夫ですか？コメント欄に何か返事を書いてください。