三項間の漸化式

こんばんは 129番で、ポイントにα、βを利用して等比数列に変形すると書いてありますが、もし問題文（1）の下線部のような誘導がなかった場合、α、βが出たあとどうやって等比数列に持っていくんですか？ 精講の①のように式変形してこの式を得ないといけないんですかね そもそもそんな問題出ませんか？ 拙い文章だと思いますが、ご回答よろしくお願いします。

どぶん 。 さん、こんにちは。 質問の要点がちょっとわかりにくいので、まずは教えてください。 ３項間漸化式を特性方程式を使って解くやりかたは、新しい数列 $b_n=a_{n+1}-\alpha a_n$ が公比 $\beta$ の等比数列になっているように変形しています。同時に別の数列 $c_n=a_{n+1}-\beta a_n$ が公比 $\alpha$ の等比数列にもなっていて、$b_n-c_n$ をすると $a_{n+1}$ がなくなって $a_n$ だけになり、簡単に求まります。このへんは、参考書などには解説付きであると思うのですが、ないですか？ネットを検索すれば、説明サイトや動画も出てきますよ。たとえば https://manabitimes.jp/math/697 などはいいと思います。 特に $\alpha=1$ のときは上に書いた $b_n$ が$a_n$ の階差数列になるので、写真の模範解答のような解答もできますよ。 いずれにしても、３項間漸化式を解くときの定石なので、誘導があろうとなかろうと、解き方を覚えておくべきです。 これだけの回答では不満でしょうが（笑）、３項間漸化式の解き方をすべて書くのも大変なので、参考書やネットで調べてみてください。 これを読んで、さらに質問があればコメント欄に書いてくださいね。