はさみうちの原理

写真の問題の(2)の問題です。 詳しく説明できずに申し訳ありませんが なぜその解法でやるのかといいますか 具体的に何をしようとして証明するのかなどの解説の意図がわかりません よろしくお願いします

しみ りつ さん、こんにちは。 このような出題では、出題者のサービスとして（あるいはこれがないと無理だろうと思って）（２）があるのでしょうね。なぜこの式を思いついたかというのは、そもそも出題者が答が３であることを知っているからでしょう。なぜこんな式が？と思うのは当然ですが、そこは考えずに。（３）への誘導としてとらえましょう。 ３を見つける方法を書きます。 もしこの数列が有限な極限値αを持つとすれば（あくまでも「持つ」という仮定のもとに、です。実際は持たないかもしれません）、ｎ→∞のとき、左辺は $\alpha$ 、右辺は $1+\sqrt{1+\alpha}$ となり、等号は成立しているはずだから $\alpha=1+\sqrt{1+\alpha}$ が成り立つはずだ。このαについての方程式を解くとα＝３が得られます（α＝０は不適解）。漸化式より $a_n$ は常に１より大きいので極限値が０であるはずはなく、「もし有限な極限値があると仮定すれば、それは３しか考えられないぞ。ただし、実際に極限値があるのかどうかは知らんが。」ということで、３の可能性が大です。（注意：この時点で（３）の答は３だと断言してはダメですよ！！まだ可能性の段階です）そこまで考えると、解答者には「$a_n-3$ （あるいは$3-a_n$ ）→０を示させばよかろう。」ということで、出題者はそもそもその数列を知っているはずなのでそんな式が作れて出題されたのだと推測されます。 あなたはこの（２）がとても気持ち悪く、こんなの自分の発想では出てこない！と悩むかもしれませんが、悩まなくていいのです。あくまでも出題者のサービスとしての誘導の過程ですからね。 これで納得できますか？コメント欄に何か返事を書いてください。