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積分（数Ⅲ）
ファイルの問題なのですが、⑴⑵は正解でした。⑶は⑴⑵が誘導だろうと思い⑴で出た k=tlogt や積分の式を代入しようとしました。すると、k が消えてしまいそうです。何か、根本的に勘違いしているのでしょうか。ご教示願えたら嬉しいです。
（追記: 2024年8月3日12:02）
左が私の書いた解答で、右がくさぼうぼう様の書いてくれたものです。赤で囲った私の立式は間違っていないと思うのですが、そこからくさぼうぼう様の書いてくれた赤で囲った部分にどう進むのか分かりません。
回答
ウルトラ セブンさん、こんにちは。
(2)で気になったのは、$\log 2,\log3$ の概数です。
2<e<3 の各辺の自然対数を取ればいいのですよ。
$\log 2<\log e(=1)<\log3$ ですね。
(3)はちょっと待っていてください。これからやります。
ｋが消えると書いていますが、ｔとｋは関数関係にあるので、ｔはｋの関数としてｋを含んではいますが。
（追記: 2024年7月31日14:53）
ウルトラ セブンさん、解答が遅くなってしまい、ごめんなさい。
すべては解決してはいないのですが、やっと何とかなりましたので書きますね。
何とかなっていないのは、S(k)が最小になるときのグラフの状態が、あなたの絵のように１＜ｔ＜３であることが言えていません。（２）が関係しているのではないかと思うのですが。それを何とか示せれば、以下のように力任せで解けました。
①とにかくS(k)をｔの式として求めてしまいます。１～ｔの定積分とｔ～３までの定積分を計算して足し、（１）のｋ＝の式を使ってｋを消去してｔの関数とします。
ここで、ｋはｔの関数で単調増加なので、S(k)が最小になるｔを求めてそこからｋに戻すことができますね。
② $S(k)=T(t)=2t(\log t)^2-(2+\log 3)t\log t+2t+3\log3-4$
$\frac{dT}{dt}=2(\log t)^2+(2-\log 3)\log t-\log 3$
$=(\log t+1)(2\log t-log 3)$ なんと因数分解できました！
③ $\log t=-1$ の方を捨てる理由もまだ明確ではありませんが、捨てれば
$\log t=\dfrac{1}{2}\log 3$
$\log t=\log\sqrt{3}$
$t=\sqrt{3}$
④これより $k=\sqrt{3}\log\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\log 3$
は得られます。
以上、２点がまだ示せていませんが、あまり遅くなってもと思い、書いてみました。
◎示せていないこと
（A) S(k)が最小になるのは1<t<3の範囲内であること
（B) logｔ≠－１であること
セブンさんも考えてください。わかったら教えてください。（A)(B)ともあっけなくわかってしまうような予感はします。
なにかコメント欄に返事をお願いします。
（追記: 2024年7月31日14:58）
（A)はわかったような。ｋ＞０であるから、ｔ＞１はグラフからも明らかだ！
また、ｋ＞３だと、ｋ」が増加すればS(k)も増加するのはグラフからも明らかだ。
よって最小になるｔは１＜ｔ＜３ですね。
ひとつ解決。
（追記: 2024年7月31日15:01）
なんだ、（B)も当たり前でした。（A)が分かったのでlogｔ＞０ですものね。
ちょっと気分転換すれば分かったことでした。
以上で解けたかな？
コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。
log2 や log 3 の概数（範囲）は条件から導けたんですね。
やっぱり⑶はうまくいきません。ｋと t が混在したまま積分するのでしょうか？
式が途中で止まってしまいました。残念です。
なんとかなりそうです！積分範囲でグラフが上下反対になることと、できた式の微分の計算式で苦労しました。くさぼうぼうさんの式が無ければ自分の間違いに気づかなかったと思います！どうもありがとうございました。
お役に立ったのか立たなかったのか、心配ですが、なんとか頑張ってください。