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「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」
はじめまして。
表題のとおり、「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に載っていた問題なのですが、問題の意味が分かりません。
f(x)=x^2、a=2,b=1とすると、f(a)-f(b)=3≠1だと思うのですが、これは反例にならないのでしょうか？
もしかしたらf(x)は前の問題の設定を引き継いでいるのかもしれないとも考えましたが、それで試してみても題意は成り立ちませんでした。
これが誤植なのか、私が問題を読み違えているのか知りたいです。
回答
ユリ さん、こんばんは。はじめまして。よろしく。
その問題文を読む限り、f(x)は整数係数の多項式と一般的にしか書いてないので「そのようなどんなf(x)でも」と読めます。そうなるとそこに書いてある結論は偽で、あなたの例が反例になりますね。なにか書き間違えかなんかでしょうか。解答は持ってないのですか？解答があればf(x)についての情報が得られると思います。お持ちなら写真でアップしてください。よろしく。会話型を目指しています。
文献にもよりますがf(x)＝x^2が多項式であるという前提が怪しいと思います。
あ、そうですね。でもそれは本質には影響なく、反例になるような多項式はいくらでも、というかほとんどがそうですよね。は は さんはこの問題文をどう思いますか？
おはようございます。 確かにこの問題成り立たないような気がしますね。直感的にx+n(nは任意の整数)の形じゃないと成り立たないような気がします。
返信が遅くなりすみません。 解答は載っていません。ネットにもこの本の解答が無いか検索してみましたが見当たりませんでしたし、問3.8が問題ミスだという情報も全く見当たりませんでした。(もし問題ミスであるなら誰かしら気づいていそうなのですが、なにぶん検索能力が無く…) また、この本は訳本であるので、原本をを当たってみました。 Let f(x) be a polynomial with integer coefficients, and let a,b be integers. Show that f(a)-f(b) can only equal 1 when a,b are consecutive. とあり、誤訳では無さそうです。 やはり、問題が間違っているのでしょうか？