シグマ計算

1行目から2行目の変形が分かりません。 k2乗以外の所が何回やっても消えません。 またa+n a-n からn -nになるのも分かりません また3行目から4行目の変形をしないで直接求めることはできないのでしょうか。 よろしくお願いします。

ア スコア さん、こんにちは。はじめての方ですね。よろしく。 1行目から2行目のところですね。4行目あたりまで書きます。解答はだいぶ省略しています。以下のような変形です。 $\sum_{k=a-n}^{a+n} (k-a)^2$ $=(-n)^2+(-n+1)^2+\cdots +(-1)^2+0^2+1^2+2^2+ \cdots +(n-1)^2+n^2$ $=\sum_{k=-n}^{n} k^2$ $=n^2+(n-1)^2+ \cdots +1^2+0^2+1^2+2^2+ \cdots +(n-1)^2+n^2$ $=2\sum_{k=1}{n} k^2+0^2$ というわけです。 3行目のシグマはｋが負で、2乗の和の公式は一応ｋが正の場合の公式ですからそのように書きなおしたのでしょう。ま、そのままやってもいいですが。 これで大丈夫ですか？これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。会話型を目指しています。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。