フーリエ級数の収束定理を使う問題

写真の例題4のフーリエ級数を用いて、次の公式を導けという問題について質問です。 フーリエ級数の収束定理を自分は｢右側極限と左側極限の和を2で割った平均を出す｣と認識しています。右側極限・左側極限はどちらも0だからx=0で連続として証明したのですが、解答はx=1/2で証明してました。 極限を久しぶりに使うので、極限の考え方が間違っているのか、そもそも自分がフーリエ級数の収束定理を誤って認識しているのか教えて欲しいです。 よろしくお願い致します。