指数計算

正しい答えはオレンジ色の文字なんですが、自分の計算だと =a になってしまいました。こうなってしまうのは、①で t と置くときに正と負の場合を考えないといけないからですか?それとも他の部分で間違えていますか？ 式が成り立ってない部分と、どうすれば成り立つのか、教えて欲しいです。手書きで見にくいかもしれませんがお願いします。m(_ _)m

太郎 きのこ さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 なるほど、すごいことをやりましたね！ 解答はお持ちですか？そこではどのようにして解いているのでしょうか。 私ならふつうにまず $x^2-1$ をaを使って計算して、さて、ルートを取るときにaが１より大きいか小さいかで場合が分かれて、$x+\sqrt{x^2-1}$ を求めれば オレンジ色の答になります。 これなら大した問題ではないのですが、きのこさんのようにやると、$2x\sqrt{t}$ が出てくるところは感動的ですね！うまくいきました。 その後ですが、下から２行目の等式の２ｔ、２aは計算間違いですね。どちらも２です。 でもあなたの間違いはこれとは関係なくて、「対称性より」という、え？っという理由でｔ＝ａとしたのは詰めが甘いです。対称性なんてありません。しっかり等式を変形していかなくてはいけません。 まず、あなたはｔ＞０と書いていますが、それも甘くて、ｔ＞１は示せるはずです。やってみてください。 そのとき、 $t+2+\dfrac{1}{t}=a+2+\dfrac{1}{a}$ $t-a+\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{a}=0$ $(t-a)+\Big(\dfrac{a-t}{at}\Big)=0$ $(t-a)\Big(1-\dfrac{1}{at}\Big)=0$ ここで、$t=a,\dfrac{1}{a}$ が得られますが、ｔ＞１を考慮すると、 a＞１なら$t=a$が採用出来て$ t=\dfrac{1}{a}$ は不適な解になります。 ０＜ａ＜１なら$t=\dfrac{1}{a}$ の方がｔの値となり、$t=a$は採用できませんね。 これでオレンジ色の答が得られます。 なるほど、ユニークな方法でしたね。 ｔ＝を持ち出してうまくいく予想があったのですか？ これで大丈夫ですか？これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。会話型を目指しています。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。 ================================== 追記　2024/08/01　16:50 コメント拝見しました。 ｔ＞１となる理由を書きますね。 そもそも 相加相乗平均の関係より $x=\frac{1}{2}(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}})\geqq \sqrt{a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{-\frac{1}{2}}}=1$ で、①よりｔ＞ｘ＞１となりますよ。 これで大丈夫ですか？コメント欄に何か返事を書いてください。