微分方のグラフの問題

次の関数の増減、極値を調べ、グラフの増減をかけ (2)y=x^3/x^2-2という問題についてなのですが、貼っている回答の写真の青線で括った部分がよくわかりません。x^2-2で割ったものをまたx^2-2で割っているように見えるのですが、それでもf(x)になるんですか？結果的にy=xになりましたが、なぜこのようにすると漸近線がもとまるのですか？

【1行目→2行目】 おっしゃる通りx^2-2で割る計算をしています。この計算は、分子の次数を下げることを目的としています。(3次式)/(2次式)という形が、割り算することによって(1次式)/(2次式)になっていますね。 分数式を扱う際は、基本的に分子の次数を下げた方が扱いやすくなります。今回はx→∞の極限を調べやすくなっています。 今後、積分をする際も同様に分子の次数を下げる計算が出てくるので覚えておくと便利です。 【2行目→3行目】 この式変形は分子と分母をそれぞれx^2で割っています。目的はx→∞の極限を調べるためです。数Ⅲの極限の基本問題にあるため復習してみてください。 【漸近線について】 上の内容より、「f(x)=x+分数式」において、x→∞のとき分数式→0となることがわかりました。 これを感覚的に説明すると 「xが大きくなると分数式が0に近づくため、無視することができる。つまり、十分大きなxに対して、f(x)=xが成立すると言ってもいい！」 ということです。 これを厳密に数式で表したものが、まさに漸近線の定義になるのですが、やや難しいので興味があれば調べてみてください。