答えが2通り出て、解答のみ正しい理由がわかりません

解答はtanの原型と微分型を整理してまとめて積分していますが、sinをcosの微分型にして、$ \frac{1}{cosx^3}$と$-(cosx)’$で$ \frac{1}{X^3}$の積分をするように解くと答えが$ \frac{1}{2cosx^2}+C$となり、答えと一致しません、どこがおかしいですか

上水流 拓海 さん、おはようございます。初めての方ですね。よろしく。 回答が遅くなってゴメンナサイ。 さて、あなたの解答でも正解ですよ。その2つの式は不定積分としては同じものです。 三角関数の相互関係に $\tan^2x+1=\dfrac{1}{\cos^2 x}$ というのがありますが、それを使って $\dfrac{1}{2}\tan^2 x+C$ $=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{1}{\cos^2 x}-1\Big)+C$ $=\dfrac{1}{2\cos^2 x}-\dfrac{1}{2}+C$ ここで、$-\dfrac{1}{2}+C$は定数なので、改めてこれを積分定数Cと書けば、めでたくあなたの答と同じになります。 2つの答は1/2の差があっただけで、微分すればおなじものになります。よって、あなたのも正解！！ 不定積分の求め方としては、sinx=-(cosx)' とみて置換積分するのが普通で、あなたの方がいいと思いますよ。 これで大丈夫ですか？会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。