整数問題、同値を示すには？＋考え方

マスターオブ整数の問題で質問があります。 7番の問題についてです。 ①解説のマーカー部分はなぜ同値と言えるのか？ 2つの条件式が →（右側方向）で成り立つのはわかるのですが、逆向きの左側方向で成り立つ理由がわかりません。 ②私はこの部分の解説自体が天下り的に感じました。この問題をこの解法で実際に解くにあたって、どのようなことを考えて同値を示したいと思ったのか？ この2点について教えてほしいです。

ふとんマスター さん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく。 ①その2式は単に移行してまとめただけですので、同じ式です。よってもちろん同値ですね。 ひょっとして、初めの不等式の真ん中の辺が気になっていますか？それは無視しても大丈夫です。 $2ab\leqq ab(c-1)$ なので、 $2ab\leqq bc+ca+1$ からスタートすると考えればいいのです。 $2ab-bc-ca \leqq 1$ $b(a-c)+a(b-c)\leqq 1$ これを逆にたどれば、$2ab\leqq bc+ca+1$ までいきますが、 $2ab\leqq ab(c-1)$ と$ab(c-1)\leqq bc+ca+1$ （←②の下にある式で、これも成り立っていることは確認済みです）を組み合わせれば、もとの３つの辺の不等式が得られます。よって同値！ ②「どのようなことを考えて」というのは難しいですね。この手の問題の解答は、読んでびっくり、種明かしを見たような感じです。私にもわかりません。でも、読めば、なるほど～！と感心しますね。マニアックです。 マスターオブ整数に取り組んでいるのですか！すごいですね。 なかなか大変な問題がちりばめられています。マニア的なのもあるので、楽しむつもりならいいですが、受験対策としてやるとなると凝りすぎではないかと思うほどです。あなたは受験生ですか？それとも数学愛好家でしょうか？ これで大丈夫ですか？会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。