等差数列

146の解説なのですが3と4が互いに素でなかったらなにか不都合があるのですか？ 回答よろしくお願いします

はる　さん、こんにちは。 互いに素でないと、そのようにすんなりとｐは△の倍数であるとは言えなくなります。 たとえば　４P=6q　のとき、ｐは6の倍数だとはいえません。ｐ＝６ｍと書くことはできません。 ｐ＝３、ｑ＝２のとき４P=6qは成り立ちますが、ｐ＝３は６の倍数ではありません。 また　5p=８q　のときは、ｐは８の倍数、ｑは5の倍数と言えますが、 1０ｐ＝８ｑのときは、ｐは8の倍数とかｑは１０の倍数とかいえません。 たとえばｐ＝４、ｑ＝５のとき1０ｐ＝８ｑは成り立ちますが、ｐ＝４は8の倍数ではなく、ｑ＝５は10の倍数ではありません。 そのへんは、素因数の重なり具合などを考えれば解明できますよ。 これで大丈夫ですか？さらに聞きたいことがあれば、コメント欄に書いてください。これで分かった場合もなにかひとこと書いてくれるとうれしいです。 ================================== 追記　2024/08/19　21:00 コメント、拝見しました。では、黄色の線ののあたりから書いてみますね。 4p=3qが成り立つことが分かりました。 右辺は３の倍数です。それが４ｐに等しいのですから、４ｐも３の倍数です。４ｐを素因数分解すれば３が少なくとも1個はあるということです。 でも４の中に３という素因数はないので（互いに素だからね！）３という因数はｐのほうに入っているはず。つまりｐは3の倍数ですね。 よってｐ＝３ｍと書けます。べつに書かなくてもいいのですが。 つまり数列 $a_n$ の３，６，９，１２…項目が数列 $B_n$ に共通しています。正確には $a_3=b_4=11,a_6=b_8=23,a_9=b_{12}=35,\cdots$ という具合です。これを数列 $c_n$ とするので、 $c_n$ は１１，２３，３５、…という数列になるのです。 $c_1=a_3=11,c_2=a_6=23,c_3=a_9=35\cdots$ これをちゃんと書くと、 $c_n$ は $a_{3n}$ だというのですね。 よって $c_n=a_{3n}=4(3n)-1=12n-1$ となります。 これで大丈夫ですか？