対照式について

78番のような対称式を基本対称式を使って変形して解く問題がありました。 このような問題は他に解き方がないように思えるのですが、なぜ基本対称式を使うだけで解きやすくなるのでしょうか。 一見、xとyの2文字の式がu(x-y)とv(-xy）の2文字の式に変わっただけなように思えますし、 そもそもなんでこのような変形は対称式でしか使われないのでしょうか。対称であることに何か特別な意味があるのでしょうか。 長くまとまらない文章ですみません。

たける さん、こんにちは。 「このような問題は他に解き方がないように思えるのですが」いや、そんなことはありません。私は問題を見て、半径√3の円を考えましたよ。無機質な対称式と見るより、実態のある円を想像する方が自然だと思います。この解法は参考のため最後に書きますね。 さて、あなたが疑問に思って質問していることがいまいちはっきり理解できないで困っています。 この解答を書いた人は、たぶんx-y-xyのほうも対称な式なら解きやすいだろうと思ったのでしょうね。 そこでX=x,Y=-yという置き換えをして、問題に出てくる式をすべて対称な式にしてしまいました。 そうなると、たかだか2次式ですから、X+YとXYだけで、条件も求める式の値も表わせます。 そのあとuとかｖに置き換えていくやり方は「よくある手口」です！X+YとかXYよりuとｖだけの式の方が扱いやすいですし。 「対称であることに何か特別な意味があるのでしょうか」これは単に数学の問題として、しかも入試問題としてとらえるなら、対称である式の出題はこのような工夫、変形を期待して出題されるのでしょう。 ま、ひとつのテクニックだと思うのがいいのではないでしょうか。 もっと広い立場で、自然現象を研究中に対称な式が出てくれば、それなりに意味があるはずです。2つの変数が表す量の影響は対等なんだとか、これとこれを入れ替えても同じような結果がえられるのだ、とかいうことが分かるのだと思います。 うまく質問に答えられていないのではと、心配です。必要なら再度要点を絞ってコメント欄に質問を書いてくださいね。 さて、私の解法です。ただし、厳密な「答案」形式ではないので、方針が分かったらご自分で答案として書いてみてくださいね。 ＜略解＞ $x^2+y^2\leqq 3$ は原点を中心とした半径 $\sqrt{3}$の円の内部及び周である。 また $x-y-xy=k$ と置くと、変形して $y=1-\dfrac{k+1}{x+1}$ なので、これは漸近線が $x=-1$ と $y=1$ である双曲線である。 よって問題は「双曲線が円と共有点を持つときの反比例定数ｋ+1の最大値を求めよ」となります。 双曲線の反比例定数の絶対値が大きいほど双曲線はその中心から離れることを頭において、図を書いてみます。 まず半径$\sqrt{3}$の円を書き、次に2本の漸近線を書き、円に接するような双曲線で中心（－１，１）から最も離れている状態を見つけます。そこは「図より」でも大丈夫だと思います（必要な数値などしっかり書き込んだ図なら）。 そうすると、双曲線が円の周上の点$\Big(\dfrac{\sqrt{6}}{2},-\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Big)$ で接するときであるとわかります。このへんをうまく文章を交えて答案を書きますよ。 けっきょく、$x=\dfrac{\sqrt{6}}{2},y=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ のときが求める状態（ｋが最大）の時で、そのとき $k=\sqrt{6}+\dfrac{3}{2}$ が得られます！！ 多少、答案を書くときに不安かもしれませんが、たぶんこれで文句は出ない（減点はない）と思いますよ。 これで大丈夫ですか？コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。