線形代数の質問です。

行列Aが正則でない時、連立方程式Ax=bが解を持つことはありえますか？ 以下具体的な問題です。実数a,kと未知数x,y,zに対して、行列Aとベクトルx,bを A=( 7 -8 6 -1 5 3 1 4 a)、 x=( x y z)、 b=( 2 1 k) とする。行列Aは正則でないとし、連立方程式Ax=bは解をもつとする。以下の問いに答えよ。 (1)aの値を求めよ (2)kの値を求めよ (3)連立方程式Ax=bの値を求めよ (4)bは行列Aの固有ベクトルであることを証明せよ です。(1)はAがゼロ行列になればいいと考えa=6としました。しかしそれ以降の解き方がわかりません。そもそもゼロ行列のAはどうしようと解を持たないと考えています。 また、(4)よりbがA固有ベクトルの固有ベクトルであることから逆算してAの固有ベクトル k(-2 -1 1)であることを加味しても解けません。

口　ろ　さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 正則でなくたって解を持ちますよ。ただし一意にというわけにはいきません。任意の実数tを用いて、解ベクトルは表せます。解のベクトルは無数にあります。 これで大丈夫でしょうか？これを読んだら、分かったとか、まだこの辺が分からないので説明してくれとか、コメント欄に何か返事をお願いしますね。会話型を目指しています。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 追記　2024/08/25　15:40 コメント、拝見しました。 たぶん教科書にあるはずですが（あ、大学生ではない一般のかたでしょうか？）、ざっと書きます。調べてみてくださいね。 （１）正則でないのですから、行列式の値はゼロです。だから3次正方行列の行列式の値を求めて、＝０とすればaに関する1次方程式になるので、解きます。行列式の値の求め方は、サラスの公式でも、余因子行列の利用でも大丈夫ですね。 あるいは、「3つの行ベクトルは1次独立ではない」のだから、1，2行目の行ベクトルの1次結合＝3行目の行ベクトル　と置けば、3元連立方程式になるので、aが求まりますよ。 （２）解が存在するのですから、拡大係数行列は1次独立ではありません。（１）の後の方のやり方と同じく、1，2行目の拡大行ベクトルの1次結合＝3行目の拡大行ベクトル　と置けば、3元連立方程式になるので、ｋが求まりますよ。 大学数学は専門外なので、ほんとはもっといい方法があるのかもしれません。この問題の前に、ほぼ同じような例題があることが多いのですが、ありませんか？ これで大丈夫ですか？またコメント欄に返事を書いてくださいね。うまくいかない場合は、ノートを写真でアップしてください。間違いを見つけますよ。