二項定理？

お久しぶりです。良いのか悪いのか分かりませんがなかなかMathQを使う機会がなかったです(笑) ですが今どうしてもわからない問題があるのでご教授願いたいです (3)について、 k nCk＝n n-1Ck-1 とはどういうことでしょうか？微分で解いた方が簡単だとは思いますがこれも理解したいので解説お願いします。

ひく ひく さん、こんにちは。また来てくれましたね！ （３）の解答の冒頭の式は、見にくいのでカッコをつけますと $k(_nC_k)=n(_{n-1}C_{k-1}$ ですね。なんか数列の添え字みたいに見えて紛らわしかったので。 まず、これが正しい、成り立つ、ということは、実際に左辺や右辺を式化してみればわかります。 左辺＝$k\cdot \dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dfrac{n!}{(k-1)!(n-1)!}$ 右辺＝$n\cdot \dfrac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!}=\dfrac{n!}{(k-1)!(n-1)!}$ なので、左辺と右辺は等しいです。 しかし、なぜこんな等式が出てきたのかは、なかなかわかりません。この解答を書いた人はこの等式が常識だったので、なんの説明もなく使ったのでしょうかね。模範解答としてはよくないですね。読者が悩んでしまいますものね。 なぜこの等式が成り立つかを、意味の上から説明してみます。 「ｎ人の中からｋ人を選び、そのうちの一人を代表者にする」という選び方はすべてで何通りあるか？という問題を考えます。やり方は2つ。 ①まず、ｋ人を選び($_nC_k$通り)、その中の1人（ｋ通り）を代表にする。これが左辺です。 ②まず、代表者を1人選び（ｎ通り）、あとは残った(n-1)人から(k-1)人を選ぶ（$_{n-1}C_{k-1}$ 通り）。これが右辺です。 これが、その等式の意味付けですが、この問題でこんなことを思い出す(思いつく）ひとはいないでしょう。 で、この問題は、本来は微分の応用問題ですので、微分を利用するのが一番楽ですよ！ 問題の解答の冒頭の式 $(1+x)^n=\cdots$ は、2項定理（2項展開）そのものですから、常に頭に入れておきますよ。 この式の両辺を微分すれば、左辺は $n(1+x)^{n-1}$ で、右辺は各項を微分します。途中の一般項の微分だけ書くと $\big(_nC_k1^{n-k}x^k\big)'=_nC_k1^{n-k}(kx^{k-1})$です。 これにｘ＝１を代入すれば $k\Big(_nC_k1^{n-k}(1^{k-1})\Big)=k\big(_nC_k\big)$ となります。 実際の答案では、模範解答別解のように右辺は各項を微分した結果を書けばいいです。 これでわかりますか？本来、この問題はこのように微分を使う問題なので、微分を使わない解法として、手品のような等式を持ち出したのでしょう。数Ⅱの微分を学習済みなら2項展開と微分を利用するべきです。 これで大丈夫ですか？以前のように、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。