漸化式の一般項

次の漸化式で表される数列の一般項を求めよ。 この問題で答えは出せたんですけど教科書の答えは（赤で書いているとこ）自分が出した答えと違っていたんですけどなにが違うんですか？ 一応右に自分の答えから教科書の答えに変形？の式を書いてみました。（合ってるかはわかんないです） 分からないので教えてください！

ベェディヴィエール さん、こんにちは。お久しぶりです！ ６には３という素因数があるので、隣の３の累乗の中に含めた方が答としてはきれいです。 あなたの答のままで○がつくかは心配です。まとめられるものはまとめるべきですね。 横に書いてある変形は間違いはありません。 もっとも $2\cdot 3\cdot (3^n\cdot 3^{-1})$ としなくても、 $2\cdot 3\cdot 3^{n-1}=2\cdot(3\cdot 3^{n-1})=2\cdot 3^n$ でいいんじゃないでしょうか。 あ、一般項はｋではなくｎで答えますよ。 これで大丈夫ですか？