このサイトはお使いのブラウザでは正常に動作しません。Google Chromeなど、別のブラウザを使用してください。
無理数同士の積は有理数になり得るか？
無理数同士の積は、√2×√2＝2のように、有理数になることもあります。
そこで、√を除いた場合、無理数同士の積は、有理数になり得ますか？
是非お教えください。
回答
neo power さん、おはようございます。
πは無理数であることは認めましょう。
π×1/π＝１（有理数）です。
ここで1/π＝ｐ（有理数）と仮定した時、
π＝1/p（有理数）となり矛盾します。
よって1/πは無理数。
π×1/π＝１（有理数）は無理数×無理数＝有理数の例です。
実数は0以外は逆元（逆数）を持ちます。
無理数の逆元は無理数です。（←上の1/πが無理数である説明と同様にできます）
よって、任意の無理数と、その逆元（逆数）の積は有理数１になります。
ルートを使わない無理数に関してそれを考えれば「ルートを使わない無理数同士の積は有理数」という例はいくらでもあります。
あるいは、ある無理数αに別な無理数βをかけたら有理数ｐになったとします。
$\alpha\beta=p$
両辺を有理数ｐで割って
$\dfrac{\alpha}{p}\beta=1$
よってβはα/pという無理数の逆数。
実数は0以外は必ず逆元を持つから、βは存在します。
無理数の逆元βは無理数。
具体的じゃないのですっきりしないかな？
たしかに逆元を考えると、√やπを除いた場合でも、無理数同士の積でも有理数となりますね。 少し質問なのですが、 ΔxΔF＝有理数のとき、 ΔxΔmΔa＝有理数 ΔxΔmΔx/Δt^2＝有理数 ΔxとΔtが有理数の場合、左辺に移項して(有理数の四則演算は閉じているので) Δm＝有理数 となりますか？
式が3行書いてありますが、つながりがわからず答えられません。1行目から2行目、ΔFが積ΔmΔaに変わったのかな？2行目から3行目、ΔaがΔx/Δt^2に置き換わった？変形して（移項ではないです）Δm＝Δt^2/Δx^2×有理数。この式でΔxとΔtが有理数なら右辺は有理数の四則ですから、当然有理数ですね。あなたの質問をつかみかねています。
プランク定数より、エネルギー（仕事）が整数倍の値つまり有理数を取ることが知られています。エネルギーEが有理数の場合、時間や変位が有理数ならば、どうなるのか気になったのです。そのため、今回の質問に至りました。
また、移項ではなく変形とのご指摘もありがとうございました。
物理だったのですか。そういわれて見直せば、1行目が仕事、力が質量×加速度になったわけですか。さらに加速度がΔx/Δt^2に書き換えられたのかぁ。ゴメンナサイ。それ以上は理解不能です。