このサイトはお使いのブラウザでは正常に動作しません。Google Chromeなど、別のブラウザを使用してください。
循環小数であるための条件
ファイルの問題なのですが「解けません」。解けない場合は「数え上げる」のだと思い、数え始めたら余りに多くなりそうで混乱しました。循環小数になる条件も分からず、お手上げとなりました。解法の糸口はどこにあるのでしょうか。
やってみました。どうでしょうか？
回答
ウルトラ セブン さん、こんにちは。台風は大丈夫ですか？
さて、10進数で考えたとき、ある既約分数を小数に直したとき、巡回しないで有限で終わるのは、分母を素因数分解したとき
$2^p5^q$ となっている時です。たとえば10進数の小数2.3456は分数にすると分母は10000＝２⁴５⁴としてから約分しますが、分母に残る素因数は２か（と）５だけです。「有限小数→分母の素因数が２と５」です。逆も成り立ちます。分母が２⁶５²なら、分母分子に５⁴をかければ分母は100000になり、有限小数になります。
（２）では分子に３があるので、分母に１、２、４や５のほかには３か６が1個はあっても約分してなくなります。なくてもいいです。有限小数になります。分母に３や６が2個以上あると分母に３や６が残り、循環小数になります。
$a_1,a_2,a_3$ の「全部が１，２，４，５のいずれか」か「どれかの2個は１，２，４，５のいずれかで、残りが３か６」の場合が有限小数になります。これで有限小数になる場合が計算で求められますが、大丈夫ですか？全体からこれを引くか、循環する場合を直接求めてもいけます。どちらでも。
（３）も方針は同様。こんどは有限小数になる方を求めますね。
さて、この方針でやってみてください。うまくいかないときは、またコメント欄に書いてください。ノートもアップしてくれると助かります。あ、うまくいった時も返事くださいね。
（追記: 2024年9月2日17:18）
あなたの答案を拝見しました。コメントにも書きましたが、（１）は積が９になるとき、すなわち（３，３）の一通りが抜けていますよ。式でやろうかと思いましたが、数え上げちゃう方が賢いですね。
（２）
3つの出目に３の倍数（３か６）が何個入っているかに着目します。
循環小数になってしまうということは約分しても分母に３または６が残ってしまうときです。
つまり、３または６が2個か3個あるときです。
2個ある場合の数は、3回中2回を選び、そこが3または6で、残った1カ所は１，２，４，５のどれかで4通り。
よって $_3C_2\times 2^2\times 4=48$通り。
3個ある場合は、3回とも３か６だから $2^3= 8$通り。
あわせて４８＋８＝５６通り！
（３）
（２）のように分母に３か６が残る場合（循環する）を全体から引けばいいですね。
つまり３や６がn-1回かｎ回出た場合は約分しても分母に３や６が残ってしまうので、循環小数になります。
(i)n-1回の場合は、$_nC_{n-1}\times 2^{n-1}\times 4=n2^{n+1}$通り。
(ii)ｎ回の場合は $2^n$ 通り。
よって求める場合の数は全体の $6^n$から上の2つを引きますので、
$6^n-n2^{n+1}-2^n=2^n(3^n-2n-1)$通り。
これでどうでしょうか？解答は持っていますか？
よく分からなかったですが、こんな感じでしょうか？
え、よくわからなかったですか？どの辺まではついてこられました？そこがわかればその先を解説できるのですが。ま、時間も経ってしまいましたので、回答を追記しますので、読んでください。いまから書くので、約30分はかかりそうです。お待ちください。あ、簡単に書けるのは、あなたの答案で（１）で2数の積が９の時を忘れてますよ！（２）の1行目の最後、「循環小数となる」ではなく「ならない」ですね。2行目「３の倍数ではない」ではなく、分子の３と約分できればいいので、「素因数として３は０個か1個」ですね。じゃ、今から書いてみます。
うーん、よく読んでみると理解できました。ただ、循環小数になるか否かというタイプの問題は初見なので面喰いました。本番で出題されたら解けなかった。精進します。いつも有難うございます。
理解できたのなら良かったです（ほんとかな？（笑））。わからないところは突っ込んで下さいね。この問題で大事なことは、分母の素因数が2と5だけの場合だけが有限小数（循環しない小数）になるということです！しまゃ、また。