無限級数の和

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n+1}} = 1 \end{aligned} $$ になるらしいのですが、それはどうしてですか？

$$ S = \sum_{n=1}^{k} \frac{n}{2^{n+1}} $$ とおきます。 $$ \def\arraystretch{2.5} \begin{array}{rrrrrrr} & 2S & = & \displaystyle\frac{1}{2^1} & + \displaystyle\frac{2}{2^2} & + \displaystyle\frac{3}{2^3} & + \cdots & + \displaystyle\frac{k}{2^k} & \\ -) & S & = & & \displaystyle\frac{1}{2^2} & + \displaystyle\frac{2}{2^3} & + \cdots & + \displaystyle\frac{k-1}{2^k} & + \displaystyle\frac{k}{2^{k+1}} \\ \hline & S & = & \displaystyle\frac{1}{2^1} & + \displaystyle\frac{1}{2^2} & + \displaystyle\frac{1}{2^3} & + \cdots & + \displaystyle\frac{1}{2^k} & - \displaystyle\frac{k}{2^{k+1}} \\ \end{array} $$ よって、 $$ \begin{aligned} S &= \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2^{k+1}}}{1-\frac{1}{2}} - \frac{k}{2^{k+1}} \\ &= 1 - \frac{1}{2^k} - \frac{k}{2^{k+1}} \\ &= 1 - \frac{k+2}{2^{k+1}} \\ &\xrightarrow[k \rightarrow \infty]{} 1 \end{aligned} $$ となります。

微分使う方法もありますよ。 $f(x)=\sum_{n=1}^{k}x^n$・・・① とします。 $f(x)=\frac{x^{n+1}-x}{x-1}$ ・・・② となります。 $f(x)$を①の状態で微分して$x=1/2$を代入すると $f'(1/2)=\sum_{n=1}^{k}\frac{n}{2^{n-1}}$ ・・・③ 目的の等式の左辺（の極限まで行かない状態）は③より$\frac{1}{4}f'1/2)$になります。・・・④ で②の方を微分すると $f'(x) = \frac{((n+1)x^n-1)(x-1)-(x^{n+1}-x)}{(x-1)^2}$ 整理するのもめんどくさいので、このまま$x=1/2$を代入して、$n$を無限大にすると $\lim_{n\to \infty}f'(1/2)=4$　・・・⑤ ④と⑤から $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n+1}}=1$ が出ますね。