教えて欲しいです。

高2です。(2)を解くにあたって、Fn(x)を文字で置いてみたり、積分区間にxが含まれているので微分してみたりしましたがうまくいかないです。解き方のアイデアを教えて欲しいです。

大井 環 さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 この質問は午前中に見てはいたのですが、うまい（本道の）解法が浮かばず、時間がたってしまいました。ゴメン！ 添削課題と書いてありますが、まだ間に合うかな？ で、これから書く解法は、あるいは先生が期待しているやり方とは違うかもしれません。別解的な解法かもしれません。そのつもりで読んでください。いちおう方針だけを書きます。 $f_1$ は1次式です。（１）で $f_2$ を求めると、次数は上がらず、おなじ1次式でした。ここから、実は $f_n$ は全部1次式で、係数だけが変わるのでは、と思い、確かめます。 与えられた漸化式で、 $f_n$ がｐ次式（ｐ≧１）だとします。 右辺は積分のところで、ｔをかけて(p+1)次式、それを積分して(p+2)次式になります。左辺も次数は同じはずですから(p+2)次式。ｘ²をかけて(p+2)次式なので、$f_{n+1}$ もｐ次式です。つまり、番号ｎが大きくなっても次数は変わらず。$f_1$ は1次式ですから、すべての番号について $f_n$ は1次式ということがわかります！ ですから、$f_n(x)=a_n x+b_n$ とかけて、漸化式の両辺にｎのときとｎ＋１の時を代入。右辺は積分計算すれば３次式。 全体をｘ²でわって係数を比較すれば、２つの数列 $\{a_n\},\{b_n\} $ についてのわりと単純な漸化式が得られますね。これをとけばいいのです。 じゃ、まだ間に合うなら、この方針でやってみてください。 ここでは会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。