垣田高夫著「ルベーグ積分ショートコース」中の定理１２−６の証明に対する質問

定理１２−６の証明において、同値なノルム||g||,||g||'を用いて、一方では||F||<= ||g||,他方では||F||>=||g||'を導き、||F||=||g||と結論しているが、この点がわかりません。教えてください。