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複素数の値の対応について
Ex23について質問させていただきます。
方程式を解いて、z1、z2、z1z2を求めるところまでは解けております。その後、z1-z2、z1z2-z2を求め、z1-z2÷z1z2-z2が実数であることを証明するところなのですが、なぜz1-z2、z1z2-z2になるのかが分かりません。ある複素数α、β、γにおいてγ-α÷β-αが実数であることは3点α、β、γが一直線上にあることと同値であるというものを利用していることは分かりますが、ここでいうz1がγ、z1z2がβ、そしてz2がαに対応しているということが理解できません。試しに入れ替えて解いてみたところ、値が実数にはならなかったのでこの対応でなければならないということですが、その原因が分かりません。
他の問題においても、どの複素数をα、β、γと置いて良いのか分からずに解けなかった問題が多々ありまして…考え方を教えていただきたいです。回答よろしくお願いします。
追記 9/10 10:20 写真を変更致しました！
以前は見にくい写真を送ってすみません。
返信いただきありがとうございます。
回答
千 婆 さん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく。
すみませんが、写真のピントが合ったやつをアップしてください！問題文の累乗の指数が見えにくくて。老眼なもので、よろしく。
さて、このような質問、つまりやってみたら合わないというときは、ぜひあなたのやったノートを写真でアップしてください。間違いを見つけますので。
１直線上になるときの調べ方では、どれをα、β、γにしても大丈夫です。きっとどこかで計算違いをしているのだと思います。
写真のアップ、お待ちしています。質問の編集機能で追加のアップができます。
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追記 2024/09/10 11:30～
しゃしん、拝見しました。やっぱりピントが合ってなくて読みにくかったです。撮影時の明るさが足りないのかなぁ。もうちょっとシャキッと合ってると老眼でも大丈夫なんですが。でもなんとか読みましたよ。
あなたのノートの写真の右上、分子のγーαでγを書き間違えていますね。虚部の分子は√３ではなく３√３ですよ。
これでやれば大丈夫、実数になります。ならないようなら再度計算過程を見せてくださいね。
これで大丈夫ですか？コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。
まず、再度見にくい写真を送り本当に申し訳ございません。ご迷惑をおかけしました。次からは1度写真を撮ってから送るようにします。すみません。 問題についてですが、再度解いてみると実数になっていました。計算ミスでした。 ご指摘いただきありがとうございます。 ということは、他の問題についても、複素数のどの値をα、β、γと置いても成立する、という理解でよろしいですか？ 大学受験の勉強を自分でやっておりますのでなかなか質問をできる機会が少なく、こちらを利用させていただいております。 本当に解答ありがとうございます。
『複素数のどの値をα、β、γと置いても成立する、という理解でよろしいですか？』はい、その通りです。どれをαにするかとか悩まなくていいですよ。なお、原理を理解していれば当然のことなので、たんに差の商が実数になれば平行、純虚数になれば垂直とか覚えるだけでなく、そうなる理屈までぜひ理解しておくといいです。差を作るということは2点を結ぶ線分を作ることだし、商を作ると、商の複素数の偏角はそれぞれの偏角の差になり、一直線上（1点を共有していなければ平行）ならば偏角の差が０かπ、すなわち商は実数。垂直なら偏角の差は±π/2で純虚数になります。 またどうぞご利用ください。暇な老人がやっています。夜11時には閉店しますので対応は翌日になりますよ。
ありがとうございます。詳しい説明までしていただき、本当に助かります。 また利用させていただきます！
おまちしています！