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n回導関数と関数の極限
$0<x$について、$e^{x}<f(x)$かつ定義域において極および特異点を持たない$C^{\infty}$級関数$f(x)$について、
$\lim_{x \to \infty}{\frac{d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\neq\infty$となる$n(n\in\mathbb{N})$は存在しないですか？
直感的には、ある$n$で有限値になった場合は$f(x)=O(x^{n})$ぐらいのオーダーになりそうなので、$e^{x}<f(x)$に矛盾しそうだな、ぐらいは考えられたのですが、それでも厳密ではないですし、負の無限大ならまだしも有限の値で振動とか無限大での振動とかまで考えると何をすればいいのかすら良く分からなくなってしまいました。
反例を考えようにも$C^{\infty}$級なのでヤバい関数は使えないですし…
以前はご回答ありがとうございました。私は今中学二年生で、来年の卒論に向けてこのテーマに関する研究をしようと思い、久しぶりにMathQを開きました。それでsikabane 7さんの回答に気が付きました。ご回答大変参考になります。 g(x)=x²+a (概形：xの2次関数) h(n,x)はxにgをn回施したもの (概形：nを固定するとxの2^n次関数、xを固定するとexp(exp(n))に近い形) f(x)=h(½,x) (概形：xの「√2次関数」) j(x)=h(x,0) (概形：exp(exp(x))に近い形) i(x)はj(x)の逆関数 (概形：loglogxに近い形) k(n,x)はh(n,k(x,n))=xを満たす関数 (概形：nを固定したときxの「(½^n)次関数」、xを固定したときexp(exp(x))に近い形) l(n,x)はh(n-2,l(n,x))=xを満たす関数 として、これらの関数と関数の間に成り立つ式を考えられたのですね！
（間違えて別のMathQのページに書くことをこちらに書いてしまいました）