n回導関数と関数の極限

$0<x$について、$e^{x}<f(x)$かつ定義域において極および特異点を持たない$C^{\infty}$級関数$f(x)$について、 $\lim_{x \to \infty}{\frac{d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\neq\infty$となる$n(n\in\mathbb{N})$は存在しないですか？ 直感的には、ある$n$で有限値になった場合は$f(x)=O(x^{n})$ぐらいのオーダーになりそうなので、$e^{x}<f(x)$に矛盾しそうだな、ぐらいは考えられたのですが、それでも厳密ではないですし、負の無限大ならまだしも有限の値で振動とか無限大での振動とかまで考えると何をすればいいのかすら良く分からなくなってしまいました。 反例を考えようにも$C^{\infty}$級なのでヤバい関数は使えないですし…