チェバの定理

上の証明のように面積比を使って証明しようとしたら失敗しました。 どう証明したらいいんでしょうか？ また、なぜうまくいかなかったのでしょうか？？教えてください😭

百花さん、こんにちは。 問15のことでしょうかね？ これは、実は、なんと…証明自体の見た目は上の「チェバの定理の証明」とまったく！同じで大丈夫なんです。 まず、あなたのノートの２行目、△ABPと△ACPになっていますが、これは上をまねて△ABSと△ACSでやります。 途中にD,Eの説明や相似な三角形の対応する辺の比は等しいというようなことを入れて（上の証明と全く同じ） $\dfrac{△ABS}{△ACS}=\dfrac{BP}{PC}$ …①が導けます。ここまでは上の証明と全く同じ。 次が、同様に、というわけにはいきません。QやRが辺AC,ABの内分点ではなく外分点になっているからです。ただし、証明の字面は同じになりますが。 次に、A,Bから直線CRに垂線をひき、交点をF,Gとする。△ACSと△BCSは底辺CSが共通だから △ACS：△BCS＝AF:BG。AF//BGなのでAF：BG=AR:AB。よって △ACS：△BCS＝AR:AB　すなわち　$\dfrac{△ACS}{△BCS}=\dfrac{AR}{RB}$ …②が導けます。 同様にして、$\dfrac{△BCS}{△ABS}=\dfrac{CQ}{QA}$ …③が導けます。 見た目は上の証明と全く同じですが、説明の部分で相似な三角形の位置関係がことなり、内分ではなく外分になったりするので、ちょこっと説明を加えた方がいいです。①と②③は「同様に」というわけにはいきませんね。②と③は「同様に」でも大丈夫ですが、心配だったら、A,Cから直線BQに垂線を引いて、交点をH,Iとして証明を書きます。 この証明は一度やっておけばもう2度とやらなくてもいいかと思います。チェバの定理が、P,Q,Rが各辺の内分点であろうと外分点であろうと成り立つんだ！という結果の方が大事ですよ！ これで大丈夫ですか？