極限

なんで答えは無限になるんですか？

ベェディヴィエール さん、こんにちは。 式の変形については大丈夫なんですね。 元の式は分母に無限大ー無限大の形があって、なにもわからないから分母の有理化をして見たんですね。 すると分母は定数になって、分子はそのようになりました。 その後の話を書きますよ。 無限大にならない理由はありますか？ ｎを無限大に大きくするんですよ。 するとn+3もn+1も無限に大きくなりますね。 そのとき$\sqrt{n+3},\sqrt{n+1}$ はどちらも無限に大きくなりますよね。 その２つを足すんでしょ。分子は無限に大きくなりますね。 無限に大きくなるものを２で割ったぐらいじゃ、無限に大きくなることを止められません！ というわけで、その最後の式は無限大に発散します。 これで大丈夫ですか？ ============================== 追記 コメント拝見。 （４）はそれで納得できたのでしょうか？ （２）ですね。あなたが言うように分母分子に1/nをかけてみますと $\dfrac{(n+1)\times\dfrac{1}{n}}{\sqrt{2n+1}\times\dfrac{1}{n}}$ $=\dfrac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}}$ なので、1/0と言っているのですね。 $\dfrac{1}{0}$ は０ではないですよ！ たとえば $\dfrac{1.0001}{0.00002}$ などはかなり大きな値になりますね。 0/1なら０ですが。 分子が有限の値１に近づき、分母はこの問題では正の方向から０の近づきますから、分数自体は無限大になっていきますよ。 一般には1/0のタイプでは０のほうが＋０なのかー０なのか振動しながら０に近づくのかによって結果が違うので、慎重に！ これで（２）は大丈夫ですか？