箱から物を取り出す確率の計算について

はじめまして。 参考書やテストで詰まったものではなく「こういう数学の問題だと言い換えられるのかな」と僕が勝手に考えている問題です。 僕は今オンラインゲームのイベントで次のような問題に直面しています。 箱から物を取り出して、取り出したものは中へ戻らない、よくあるタイプの問題なのですが、 条件をまとめると以下の通りです。 ・獲得数が有限のゲーム内マネーを消費すると、500個の景品が入っている箱から一つ物を取り出すことができる。取り出したものは中へは戻らず、景品の数はどんどん減っていく。 ・箱には目玉である景品Aが2個入っている。 ・箱の中の500個を引き切るか、箱の中に1個だけ入っている景品Bを取得するといつでも箱の中身をリセットできる。リセットの回数に制限はない。 ・A以外の景品には価値がないため、Aを2個引き当てている状態でBを引き当てたときは必ずリセットする。 ・Aは獲得できればできるだけ良い。 ・実際のところ確率は公開されてはいないが、ひとまず確率は等しいものとする。 このような条件で、Aの獲得個数を最大化するためにはどのような作戦・戦術を取るべきか？ということをずっと考えており、ひとまずリソースだけを集めて箱には触れずにいます。 僕の中で、結論が異なってしまう二つの戦略が思い浮かんでしまい、どれが正しいのか知恵をお借りしたいと思いました。 一つ目の戦略は、500個のうちAが2個入っているので確率は1/250。リセットした直後はAを引く確率が1/250に戻るのだから、取り出しが250個未満でAを1個とBを引き当てた状態になったら、次のAを現行の箱で引き当てようとすると1/250より小さい確率になってしまうためリセットする。251個以上取り出した状態でAを1個とBを引き当てた状態になったら、1/250よりも分の良い確率で勝負できる上に最後のAを引いたらすぐに箱をリセットできる状態にあるため取り出し続ける、というものです。 しかし、この戦略ではリセットした後に再びBを引かなければならないこことを考慮できていないため、実際には251より少ない数でもリセットせずに続行するのが良いのではないか、と頭ではなんとなくわかっているのですが、道筋が全く立てられません。 二つ目に思いついた戦略（立式）は、Aを1個とBを引き当てたときの取り出し回数をnとしたときに、残りの500-n回にチャレンジする効率が良いのは何回以上かを求めようとしたものです。 僕は、 n＜｛n+（1+500-n）/2｝/2 を満たすn以下のとき、リセットするかの境目になるのではないかと思いました。左辺は単純にn回の後リセットするとき（＝Aは1個）。右辺は、n回引いた後にリセットせず残り（500-n）回の箱に挑戦する、そして、残り（500-n）個の箱を引くときの平均取り出し数は（1+500-n)/2 になる、そしてこれを2で割って平均を取ることで、左辺の1箱分に対する2箱分の成果を表せると思いました。そして、これを解いてみるとn<167となり、一つ目の戦略で立てた250とはかけ離れた数字になってしまいました。 （1+500-n)/2という期待値を単純に2で割ってしまっているのもそうですし、この戦略においてもやはりリセットした後に Bを引かなければならないことを考慮できていないので不十分だと感じましたが、今の僕の数学の知識では太刀打ちができません。 どちらも僕にとっては持てる知識を出し尽くした戦略なのですが、どちらも僕の数学の知識では全く否定することもできず代案も思いつかず途方に暮れてしまっています。 僕は数学2Ｂ以上の知識がまだないので、必要な場合は軽い解説や参考になるサイトや動画、教科書など紹介していただければ幸いです。