3つの数の和が一定のときの範囲

a≧0 、b≧0 、c≧0 で a+b+c=kが一定であるときa²+b²+c²、ab+bc+ca、a⁴+b⁴+c⁴の取り得る範囲を求めよ a²+b²+c²の範囲は コーシー・シュワルツの不等式より3(a²+b²+c²)≧(a+b+c)²と a²+b²+c²=k²-2(ab+bc+ca) a，b，cどれか2つが0、1つがkのときab+bc+ca=0となりa²+b²+c²≦k² k²/3≦a²+b²+c²≦k²だと思うんですが自信はないです。 解説お願いします