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微分法 導関数
写真のy =xの2/5乗の問題です。
y'を求めたあとx<0,x>0の時のy'の正負の見分け方がわかりません
よろしくお願いします
回答
しみ りつ さん、こんばんは。
$y=x^{\frac{2}{5}}$
$y'=\dfrac{2}{5} x^{-\frac{3}{5}}=\dfrac{2}{\sqrt[5]{x^3}}$
x>0のとき、ｘ³＞０。正数の5乗根は1つあって、それは正。よってｙ’＞０
x<0のとき、ｘ³＜０。負の数の5乗根は1つあって、それは負。よってｙ’＜０
となります。
ｎ乗根は、ｎが奇数の時は１つ、ｎが偶数のとき2つありますよ。
$y=x^n$ のグラフを考えて、ｙの値に対して対応するｘがどこにあるか考えてみて。
これで大丈夫ですか？
xの3乗の5乗根を√ ルートの形にした時 √の中身は０以上でないといけないと思ってしまったのですが 普通の√ ルート(1／2乗根)の時だけ 中身を０以上とするのでしょうか
なるほど、そういう考えだったのですね。それは誤解です。aのｎ乗根ていうのは、ｎ乗したらaになる数のことです。このｎが偶数だと、偶数乗したらaになる数ですが、どんな実数も偶数乗したら正の数（厳密には０以上の数）になってしまうので、ｎ乗したらー８になるような数はないのですね。だからｎが偶数の時は「負の数のｎ乗根」はありません。だからｎ乗根のルートの中には負の数があってはいけません。 でもｎが奇数の時は、たとえば3乗したらー８になる数はあります。－２です。だからー８の3乗根はー２の一つだけです。平方根のように2つとか出てきません。³√-8は負の数になります。－³√-8は正の数２になります。そのあたりも気をつけなくてはならない点です。 まとめ：ｎが偶数の時は根号の中は０以上の数でないといけない。ｎが奇数の時は根号の中は正でも負でも大丈夫 これで大丈夫ですか？
丁寧なご説明ありがとうございました 理解できました🙇♀️
それならよかったです。またどうぞ！