内心と辺の中点の長さ

神戸大学の1964の入試問題のようです。 考え方からわからずつまずいております。 (1)から丁寧に説明して欲しいです。

あき さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 質問を書くページにあったのですが、学年とか、一般の方とかの情報を下さい。 解答の書き方や方法が変わることがあるので。次回にお願いします。 回答が遅くなりゴメンなさい。 ずいぶん昔の入試問題ですね。私が大学入試をする2年前です！ 原理的には解けていたのですが、とても計算する気が起こらず…。 がんばってやってみましたら、正解にたどり着けました。 正解はお持ちですか？ネット上にありましたよ。 https://bcaweb.bai.ne.jp/~ajib0501/koube/1964KBE.pdf 細かい計算まで全部書くのは超大変なので、筋道だけ。 ⊿IBCに着目すると、BC=２a、∠BIC=$\dfrac{2}{3}\pi$ 、∠IBC=$\dfrac{\theta}{2}$ がわかっていますので、正弦定理でICが求まりますね。 IからBCに下ろした垂線をIHとします。IHと∠ICM=$\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\theta}{2}$ より、CH、IHが、求まりますね。 あとは⊿IMHで三平方の定理を用いればIM²がわかります。 結果は $\dfrac{\theta}{2}$ や $\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\theta}{2}$ のサイン、コサインが混ざって大変なことになっています。 ある程度整理すれば、答として恥ずかしくない式（θとθ/2のサインだけ）までたどり着くので終わりにして大丈夫だと思います。でもネット上のきれいな解答に無理やり持っていける式なので大丈夫だと思います。 あなたの学年が書いてないのでわかりませんが（質問時に書いてくださいね）、数Ⅲの微分をやっているのなら途中でやめても大丈夫。それを微分すれば（２）の答は得られますよ。ただ、数Ⅰの三角比の範囲での問題だとすると、きれいな解答までもっていかないと（２）ができないかもしれません。 ネット上の解答は、あるいはもっと素晴らしい発想から得られたのかもしれませんが、残念ながら私はこの方法しか思いつきません。 余りスマートな解答ではないですが、これで大丈夫ですか？ 会話型を目指しています。これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。返事がないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。コメントよろしく。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ コメントありがとうございます。 え～と、よくある問題で、「⊿ABCの内心をIとする。∠BAC=60°のとき、∠BICの大きさを求めよ」っていうの、やったことあるはずですよ！∠B＋∠C=１２０°だから$\dfrac{1}{2}$∠B＋$\dfrac{1}{2}$∠C=６０°。⊿IBCで、両側の角の和$\dfrac{1}{2}$∠B＋$\dfrac{1}{2}$∠Cが６０°だから∠BIC=１８０°ー６０°＝１２０°　です。 これで大丈夫ですか？コメント欄に返事を書いてくださいね。 神戸大PDFへのリンクがうまくなかったので変更しました。 あと、（１）ができれば（２）は大丈夫ですか？