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図形問題における操作の意味について
数学ⅠA、図形に関する問題です。
赤星をつけた部分について、指示に基づいて計算し、答えを出すことはできるのですが、「なぜこの操作をするのか」という部分が感覚では理解できても言葉で説明することができません。
「点Eが点Dの位置より点B側に寄っているから、点FはACの端点C側にある」
というような説明しかできないのですが、より理論的な解説の仕方はないでしょうか。
どうぞよろしくお願い致します。
回答
iPad用 7 さん、こんにちは。お久しぶりです。
それを理屈で示すのは、やはり$\dfrac{BE}{BD}$ と $\dfrac{AB}{BC}$ をうまく解釈することです。
$\dfrac{BE}{BD}=\sin∠EDB,\dfrac{AB}{BC}=\sin∠ACB$ と考えれば、
角はどちらも鋭角ですから、サインの大小と角の大小は一致します。
よって∠EDB＜∠ACB
よってACとEDはCの側で交わります。
これでどうでしょうか？
会話型を目指しています。わかったとか、まだこのへんがわからないから説明してほしいとか、コメント欄に何か返事を書いてください。よろしく。
（追記: 2024年9月28日16:38）
iPad用 7 さん、ご指摘ありがとうございました。上の解答が消せず、恥ずかしいものが残ってしまいました。
DからACに平行な線を引き、ABとの交点をFとします。
BF/BD=AB/BC で（三角形の相似より）、
BE/BD<AB/BC だから
BE/BD<BF/BD
よってBE<BFすなわちEはFよりBも側にある。
したがって△EBDは△FBDと∠Bを共有し、その内部にある。
これより∠EDB＜∠FDB
ゆえに∠EDB＜∠ACB
よって、ACとEDはCの側で交わる。
これじゃ、あなたが言葉で書いたことと大差ないかなぁ。でも一応論理的です。
これでどうでしょうか？
（追記: 2024年9月28日18:09）
再度すみません。上の追記でFを使ってしまいましたが、Gにしておいてください。Fは今考えている交点でしたね。
角の大小比較をsinを使ってするんですね！その発想はありませんでした、勉強になります。 しかし、不勉強で申し訳ないのですが重ねて質問失礼します。角BEDはこの場合90°ではないと思うのですが、直角を挟まない三角形のsinの値をそのような形で求めて良いものなのでしょうか？直角三角形以外では、sinは正弦定理を用いて求める、と習ったことがある記憶があるのですが…。 よろしくお願いいたします。
ご指摘の通りです。大失敗です。考え直して出直してきます。
確認遅くなってしまい申し訳ありません！追記確認いたしました、なるほど理解できました！ BE<BGより、角BED>角BGDであり、角BED>90° したがって点Fは点Cの側にある…のような記述方法を思いついたのですがいかがでしょうか。大筋は行ける気がするんですがどこか変な感覚も抱いてまして…。 わかりにくくてすみません。ご返答お待ちしております。
うわ！もう図もないし、だいぶ前のことなのですっかり忘れてます。なるべく反応は早くお願いしますね。 はい、そんな説明で「大筋はいける」と思います。「角BED>90°したがって点Fは点Cの側にある」だけではちょっと弱い気もしますが。